16. Единственность предела функции в точке. Локальная ограниченность функции, имеющий конечный предел. Локальное сохранение знака функции, имеющий нулевой предел.

Теорема 1. Если  limf(x) = b  R при x  a, то этот предел единственный.

Доказательство: Пусть это не так.

limf(x) = b₁и limf(x) = b₂ при x  a. b₁b₂

{x_n} D(f), x_n  a, x_n  a  f(x_n)  b₁ (определение по Гейне)

{x_n} D(f), x_n  a, x_n  a  f(x_n)  b₂ (определение по Гейне)

Для конкретной последовательности {x_n} D(f). x_n’  a, x_n  a 

 f(x_n’)  b₁ и f(x_n’) b_2. Тогда по теореме о единственности предела последовательности b₁=b₂. #

Опр. Функция f(x) называется локально ограниченной при x  a, если существует числа  > 0 и М > 0 такие, что при 0 < |x-a| < d, xX имеем |f(x)|<=M.

Теорема 1(о локальной ограниченности). Если функция f(x) имеет предел в точке a, то она локально ограничена при x  a.

Доказательство: Если существует lim f(x) = A при x  a, то, например, для =1 существует >0 такое, что при 0 < |x-a| < , xX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,

|f(x)|<|A|+1=M. #

Теорема 2(о локальном сохранении знака). Если lim f(x) = A при x  a и A0, то существует такое >0, что при

0 < |x-a| < , xXи A>0 имеем f(x)>A/2, а при 0 < |x-a| < , xXи A<0 имеем

f(x) < a/2, т.е. (0 < |x-a| <  xX |f(x)| > |A|/2.

Доказательство: Возьмем =|A|/2. Найдется >0 такое, что при

0 < |x-a| < , xX имеем

A-|A|/2<f(x)<A+|A|/2.

При A>0 из левого неравенства получаем f(x) > A/2, а при A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. #

17. Критерий Коши существования предела функции в точке.

Теорема (критерий Коши): Для того чтобы функция f(x) имела конечный предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы для любого >0 можно было указать такое

>0, что для всех x’, x’’X, 0 < |x’-a| < 0 < |x^’’-a| < выполняется неравенство:

|f(x’)-f(x^’’)|< (1)

Доказательство:

Пусть lim f(x)=A при x  a и дано >0. Найдется такое >0, что при x’X, 0< |x’-a|<и

x^’’X, 0< |x^’’-a|<будет |f(x’)-A|<и |f(x’’)-A|</2. Но тогда, в силу неравенства треугольника треугольника:

|f(x’)-f(x^’’)|<=|f(x’)-A| + |f(x^’’)-A|<, что доказывает необходимость.

Для доказательства достаточности воспользуемся понятием предела по Гейне.

Пусть {x_n} X – некоторая последовательность, x_n  a. При условии данного >0 найдется >0 такое, что при x’X, 0< |x’-a|<и x^’’X, 0< |x^’’-a|<будет выполнятся (1).

В силу сходимости {x_n}, n_ такой, что при n>n_ и m>n_ имеем 0<|x_n-a|< и 0<|x_m-a|<,

а значит (по аналогии необходимости),

|f(x_n)-f(x_m)|<.

Следовательно, по критерию Коши для последовательностей, существует предел

lim f(x_n) при n OO. Остается доказать, что этот предел не зависит от выбора последовательности {x_n}. Если x_na и y_na, то образуем смешанную последовательность w_n=x₁,y₁,x₂,y₂,… по закону w_2n=y_n, w_2n-1=x_n, тогда очевидно,

что и w_na. Тогда существует lim f(w_n) = A, но тогда и lim f(x_n) = A, и lim f(y_n) = A при nOO,

т.к. {x_n} и {y_n} Подпоследовательности {w_n}. #