8. Теоремы о предельном переходе в двухчленных неравенствах.

Теорема 1. Если последовательности {Xn} и {Yn} при всех их изменениях равны, причем каждая из них имеет конечный предел: x_n  a и y_n  b, то a=b.

Доказательство: следует из единственности предела.

Теорема 2. Если для {Xn} и {Yn} выполняется неравенство Xn >= Yn, причем Xn –> a и Yn –> b, то a >= b.

Доказательство:

Пусть a < b. Возьмем число R такое, что a < R < b. Тогда с одной стороны найдется номер N’ такой, что для n > N’ будет Xn < R (1). С другой же стороны найдется такой номер N’’ такой, что при n > N’’ будет Yn > R.(2). Если N больше N’ и N’’, то для n>N будут выполнятся одновременно два неравенства (1) и (2)  Xn < Yn, что противоречит условию. #

Теорема 3. Если Xn –> a и Xn >= 0, то a >= 0

Доказательство: пусть это не так: а < 0, т.е. а = -|a|

Xn –> a : Xn - a = n – б.м.п. 

 N(N : n>N( n| <

В частности, при  = |a|/2 > 0, n > N(|a|/2)  n| <|a|/2

Xn = a + n <= a + |n| <= -|a| + |a|/2 = -|a|/2 < 0; Xn < 0, а это противоречит условию Xn >= 0

#

Теорема 4. Если Xn –> a и Xn >= b [Xn <= b] с некоторого номера N^*, то и a >= b [a <= b].

Доказательство: допустим это не так, тогда a < b

По определению сходящийся последовательности для  = b – a :

 N(N : n>N( Xn - a| <b – a, т.е.

-(b – a) < Xn - a < b – a  Xn < b при n > N, а это противоречит условию теоремы.

#

9. Теорема о пределе промежуточной последовательности.

Теорема. Пусть {Xn} и {Yn} – две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, все элементы последовательности {Zn}, по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют условию:

Xn <= Zn <= Yn.

Тогда последовательность {Zn} сходиться к тому же самому пределу a.

Доказательство:

Xn <= Zn <= Yn. 

Xn – a <= Zn – a <= Yn – a

| Zn – a | <= max {| Xn – a |,| Yn – a |};

Xn –> a :  N₁(N : n> N₁(Xn – a| <

Yn –> a :  N₂(N : n> N₂(Yn – a| <

 N(max{N₁(, N₂(} : n>N(

Zn – a| <= max {| Xn – a |,| Yn – a |} <  Zn –> a. #

10. Теорема о стягивающихся отрезках.

Замечание 1: все элементы неубывающей (невозрастающей), ограниченной сверху (снизу), последовательности не больше (не меньше) ее предела.

Теорема. У всякой стягивающейся системы сегментов {[a_n, b_n]} существует и притом только единственная точка c, принадлежащая всем сегментам этой системы.

Доказательство: Если взять точку d  всем сегментам, то, предположив ради определенности, что d>c, мы получим сегмент [c,d], который  всем [a_n, b_n]. Но тогда для любого номера n выполняется неравенство b_n – a_n >= d – c > 0, что невозможно,

т.к. b_n – a_n –> 0 при n –> бесконечности.

Докажем теперь, что существует точка c, принадлежащая всем сегментам. Так как система сегментов является стягивающейся, то последовательность левых концов {a_n} не убывает, а правых концов {b_n} не возрастает. Поскольку обе эти последовательности ограничены (их элементы лежат на сегменте [a₁,b₁]), то обе они сходятся (по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности). Из того, что разность b_n – a_n является бесконечно малой, вытекает, что эти две последовательности сходятся к общему пределу, который мы обозначим через c. В силу замечания для любого n выполняется неравенство:

a_n <= c <= b_n, т.е. с принадлежит всем сегментам [a_n, b_n]. #