Вопрос 24. Стратегическое планирование машинных экспериментов с моделями систем.

Существует два основных варианта постановки задачи планирования имитационного эксперимента:

1. из всех допустимых выбирается такой план, который позволяет получить наиболее достоверное значение отклика при фиксированном числе опытов.

2. выбирается такой допустимый план, при котором статистическая оценка функции отклика может быть получена с заданной точностью при минимальном объеме испытаний.

Решение первой задачи – стратегическое планирование эксперимента.

При стратегическом планировании решаются две основные задачи:

1)идентификация факторов;

2)выбор уровня факторов.

Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной.

Факторы обычно разделяются на две группы:

- первичные (те факторы, в исследовании влияния которых экспериментатор заинтересован);

- вторичные (факторы, которые не являются предметом исследования, но влиянием которых нельзя пренебречь).

В процессе идентификации факторов мало влияющие факторы могут не учитываться.

Выбор уровней факторов производится с учетом двух противоречивых требований:

1. выбранные факторы должны перекрывать (заполнять) изучаемый диапазон его значений.

2. общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному размеру (V) моделирования.

Способы построения стратегического плана:

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов называется ПФЭ (полный факторный эксперимент).

Общее число различных комбинаций уровней (точек) в ПФЭ вычисляется по формуле:

где li – число уровней для i-го фактора, k – число факторов.

Если число уровней для всех факторов одинаково и равно L, то N=Lk.

Недостаток ПФЭ – большие временные затраты на проведение эксперимента, поэтому используются частичные факторные эксперименты (ЧФЭ).

Рассмотрим некоторые ЧФЭ:

рандомизированный план – предполагает выбор сочетания уравнений для каждого прогона случайным образом. При этом фиксируется число экспериментов, которым экспериментатор считает возможным ограничиться.

латинский план («латинский квадрат») используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими вторичными.

эксперимент с изменением факторов по одному. Один из факторов пробегает все свои уровни в то время, как остальные факторы остаются фиксированными.

дробный факторный эксперимент. Каждый фактор имеет два уровня (верхний и нижний), поэтому общее число вариантов эксперимента N=2k.

Пример латинского плана.

Рассматриваются 3 фактора: А,В,С.

А – первичный; В,С – вторичные.

Значения фактора В	Значения фактора С

План строится таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце таблицы данный уровень был представлен только один раз.

По данному плану необходимо провести 16 экспериментов. N=16. Для ПФЭ N было бы 43=64. Экономия в 4 раза.

Пример дробного факторного эксперимента.

k=0

Номер эксперимента	Значение факторов
	X1	X2
1	0	0
2	0	1
3	1	0
4	1	1

0 – нижний уровень фактора

1 – верхний уровень

ЧФЭ N=22=4.

Вопрос 25. Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем (проблема определения начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата, проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования).

Планирование машинных экспериментов – один из этапов имитационного моделирования.

План определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S

Тактическое планирование эксперимента с машинной моделью

Тактическое планирование представляет собой определение способа проведения каждой серии испытаний машинной модели Мм, предусмотренных планом эксперимента. Для тактического планирования также имеется аналогия с внутренним проектированием системы S, но опять в качестве объекта рассматривается процесс работы с моделью Ми.

Мы системы S связано с вопросами эффективного использования выделенных для эксперимента машинных ресурсов и определением конкретных способов проведения испытаний модели Мы, намеченных планом эксперимента, построенным при стратегическом планировании. Тактическое планирование машинного эксперимента связано прежде всего с решением следующих проблем:

1) определения начальных условий и их влияния на достижение установившегося

результата при моделировании;

2) обеспечения точности и достоверности результатов моделирования;

3) уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем;

4) выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями систем

Проблема определения начальных условий и их влияния на достижение

установившегося результата при моделировании.

Первая проблема при проведении машинного эксперимента возникает вследствие искусственного характера процесса функционирования модели Мм, которая в отличие от реальной системы S работает эпизодически, т. е. только когда экспериментатор запускает машинную модель и проводит наблюдения. Поэтому всякий раз, когда начинается очередной прогон модели процесса функционирования системы S, требуется определенное время для достижения условий равновесия, которые соответствуют условиям функционирования реальной системы.

* Таким образом, начальный период работы машинной модели Мм искажается из-за влияния начальных условий запуска модели. Для решения этой проблемы либо исключается из рассмотрения информация о модели Мм, полученная в начальной части периода моделирования (0, Т), либо начальные условия выбираются так, чтобы сократить время достижения установившегося режима.

Все эти приемы позволяют только уменьшить, но не свести к нулю время переходного процесса при проведении машинного эксперимента с моделью Мм. *

Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования.

Решение второй проблемы тактического планирования машинного эксперимента связано с оценкой точности и достоверности результатов моделирования (при конкретном методе реализации модели, например, методе статистического моделирования на ЭВМ) при заданном числе реализаций (объеме выборки) или с необходимостью оценки  необходимого числа реализаций при заданных точности и достоверности результатов моделирования системы S. Как уже отмечалось, статистическое моделирование системы

S — это эксперимент с машинной моделью Мм. Обработка результатов подобного имитационного эксперимента принципиально не может дать точных значений показателя эффективности Е системы S; в лучшем случае можно получить только некоторую

оценку Е такого показателя. При этом экономические вопросы затрат людских и машинных ресурсов, обосновывающие целесообразность статистического моделирования вообще, оказываются тесно связанными с вопросами точности и достоверности оценки

показателя эффективности Е системы S на ее модели Мм

Таким образом, количество реализаций N при статистическом моделировании системы S должно выбираться исходя из двух основных соображений: определения затрат ресурсов на машинный эксперимент с моделью Мм (включая построение модели и ее машинную реализацию) и оценки точности и достоверности результатов эксперимента с моделью системы S (при заданных ограничениях не ресурсы). Очевидно, что требования получения более хороших оценок и сокращения затрат ресурсов являются противоречивыми и при планировании машинных экспериментов на базе статистического моделирования необходимо решить задачу нахождения разумного компромисса между ними.

Из-за наличия стохастичности и ограниченности числа реализаций N в общем случае ≠Е. При этом величина Е называется точностью (абсолютной) оценки:

вероятность того, что неравенство

(6.6)

выполняется, называется достоверностью оценки

(6.7)

Величина ε0 = ε/Е называется относительной точностью оценки, а достоверность оценки соответственно будет иметь вид

.

Для того чтобы при статистическом моделировании системы по заданным Е (или Е0) и Q определить количество реализаций N или, наоборот, при ограниченных ресурсах (известном N) найти необходимые Е и Q, следует детально изучить соотношение (6.7). Сделать это удается не во всех, случаях, так как закон распределения вероятностей величины для многих практических случаев исследования систем установить не удается либо в силу ограниченности априорных сведений о системе, либо из-за сложности вероятностных расчетов. Основным путем преодоления подобных трудностей является выдвижение предположений о характере законов распределения случайной величины , т.е. оценки показателя эффективности системы S.

N = tφ2p(1-p)/(p2ε02) = tφ2(l-р)/(ε02р). (6.10)

Соотношение (6.10 – точность результатов моделирования) наглядно иллюстрирует специфику статистического моделирования систем, выражающуюся в том, что для оценивания малых вероятностей р с высокой точностью необходимо очень большое число реализаций N. В практических случаях для оценивания вероятностей порядка 10- k целесообразно количество реализаций выбирать равным 10k+1. Очевидно, что даже для сравнительно простых систем метод статистического моделирования приводит к большим затратам машинного времени.