2.4. Чувствительность систем автоматического управления
В процессе эксплуатации корабельных САУ (старение, износ, влияние факторов окружающей среды и т.д.) действительные значения параметров будут отличаться от расчетных. Это приводит к изменению показателей качества работы систем, а значит и к необходимости изучения влияния отклонения параметров на свойства САУ. Данный вопрос является предметом изучения теории чувствительности.
Под чувствительностью будем понимать свойство системы изменять свои выходные характеристики (показатели качества) при отклонении тех или иных параметров от своих номинальных значений. Количественно это свойство САУ можно оценить с помощью функций чувствительности.
Рассмотрим в качестве примера линейную САУ первого порядка с передаточной функцией
(2.33)
Переходная характеристика системы
(2.34)
Как видно из выражений (2.33) и (2.34), линейная САУ описывается апериодическим звеном первого порядка.
Предположим,
что к
и Т
– расчетные значения коэффициента
усиления и постоянной времени, а
и
–
отклонения этих параметров от расчетных
значений. При отклонении параметров
передаточная функция будет иметь вид:
(2.35)
Ей соответствует переходная характеристика
.
(2.36)
Представим
функцию
как сумму двух слагаемых:
(2.37)
где
– составляющая реакции системы,
обусловленная отклонениями
и
.
Слагаемое
является основной составляющей реакции,
– дополнительной составляющей.
Характеристику (2.37) разложим в ряд Тейлора:
(2.38)
где
– член, содержащий произведения и
степени выше первой величин
и
.
Частные производные
(2.39)
в теории чувствительности называются функциями чувствительности первого порядка.
Иногда в рассмотрение вводятся частные производные второго и более высоких порядков. Тогда вторые производные называются функциями чувствительности второго порядка и т.д.
Для системы с передаточной функцией (2.35) на основании (2.36) можно получить
(2.40)
При малых отклонениях и
(2.41)
откуда
(2.42)
Функции
чувствительности
и
могут быть определены не только при
ступенчатом, но и при любом воздействии
По аналогии с рассмотренными выше функциями чувствительности временных характеристик вводятся функции чувствительности частотных характеристик.
Система с передаточной функцией (2.33) имеет амплитудную и фазовую характеристики
которым соответствуют функции чувствительности
При этом для частотных характеристик системы справедливы приближенные соотношения
Для показателей качества, выражающихся числовыми величинами, вводят коэффициенты чувствительности.
Если система имеет квадратичную интегральную оценку качества
(2.43)
то для нее имеют место коэффициенты чувствительности
(2.44)
Коэффициенты чувствительности (2.44) связаны с временными функциями чувствительности соотношениями
(2.45)
получаемыми в результате дифференцирования по параметрам левой части выражения (2.43).
При решении ряда задач, кроме введенных выше функций и коэффициентов чувствительности, рассматриваются также логарифмические и полулогарифмические функции и коэффициенты.
В теории чувствительности разработаны специальные методы определения точных значений функций и коэффициентов чувствительности.