Частотные методы оценки показателей качества

С помощью полученных вещественных или мнимых частотных характеристик можно определять показатели качества САР. Для этого существует два способа оценки качества: по виду вещественной частотной характеристики (ВЧХ) и по номограмме В.В.Солодовникова.

Если комплексная передаточная функция замкнутой САР имеет вид

где – ВЧХ, – мнимая частотная характеристика.

Справедливо отношение

(2.32)

Данная зависимость часто позволяет уже по виду и параметрам ВЧХ судить о качестве переходного процесса.

Рассмотрим некоторые свойства ВЧХ.

1. Изменение масштаба по оси ординат. Если изменить масштаб по оси ординат ВЧХ в n раз, то масштаб кривой переходного процесса изменится в то же число раз. Для доказательства этого свойства достаточно умножить правую и левую части уравнения (2.32) на n. Это свойство иллюстрируют графики, показанные на рис. 2.17 а и б.

   0

2. Изменение масштаба по оси абсцисс. Если увеличить в n раз масштаб аргумента ВЧХ, то масштаб кривой переходного процесса уменьшится в то же число раз. Это свойство иллюстрируют графики, показанные на рис. 2.17 а и 2.18.

3. Установившееся значение переходного процесса. Согласно теореме о конечном значении можно записать:

4. Начальное значение переходного процесса. Согласно теореме о начальном значении можно записать:

5. Если ВЧХ может быть представлена суммой характеристик, то переходная характеристика также представляет собой сумму

Метод построения переходного процесса с помощью трапецеидальных характеристик

Наибольшее распространение получил метод В.В.Солодов-никова, который ввел в рассмотрение единичные трапецеидальные частотные характеристики, имеющие следующий показатели: высота Р(0), интервал равномерного пропускания частот , интервал пропускания частот ( – частота среза), коэффициент наклона . Типовая единичная трапеция показана на рис. 2.19 а, а типовая ВЧХ – на рис. 2.19 б.

Единичная трапеция при Р(0)=1, полностью характеризуется коэффициентом наклона. Для таких единичных трапеций при произведен по выражению (2.32) расчет единичных переходных функций. Этот расчет сводится в специальные таблицы, фрагмент которых показан в табл. 2.1 и Приложении (табл. П3).

Реальную ВЧХ аппроксимируют суммой неединичных трапецеидальных характеристик. Для каждой неединичной характеристики, пользуясь таблицей h-функций, находят переходную характеристику. По коэффициенту наклона i-ой трапеции выписывают значения единичной переходной функции , а затем производят перерасчет для неединичной по формулам:

Переходная характеристика системы находится как алгебраическая сумма неединичных переходных функций

где m – число трапеций.

Пример. Построить кривую переходного процесса САР по ВЧХ, изображенной на рис. 2.20 а. Разобьем ВЧХ на четыре трапеции, как это показано на рис. 2.20 б.

Определим для каждой из трапеций значения и истинный масштаб времени . Числовые значения этих параметров трапеций сведем в табл. 2.2. Откладывая по оси абсцисс значения , а по оси орди­нат получим четыре составляющие переходного процесса для каждой из трапеций. Складывая ординаты этих кривых, строим искомый переходный процесс По кривой переходного процесса можно определить следую­щие показатели качества: (мак­симальное отклонение регулируемого параметра в переход­ном процессе или величина динамической ошибки в процен­тах определяется по формуле

где максимальное отклонение регули­руемого параметра, – его установившее­ся значение. Необходимые построения показаны на рис. 2.21.