2.2. Критерии устойчивости

В теории автоматического управления и регулирования существует достаточно много методов определения знака вещественной части корней характеристического уравнения по его коэффициентам, без нахождения самих корней. Эти методы и называются критериями устойчивости. Критерий устойчивости - это математически сформулированные условия, которым должны 4удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения или какие-либо функции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой.

Простейшим необходимым (но не достаточным) критерием устойчивости является критерий, согласно которому для устойчивости САР необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (2.3) были одного знака, например, положительными.

Представим уравнение (2.3) в виде:

В устойчивой САР все корни имеют отрицательные вещественные части. Пусть, например:

Тогда имеем:

(2.5)

Из (2.5) следует, что характеристический полином устойчивой САР может быть представлен в виде произведения многочленов первой и второй степени, имеющих только положительные коэффициенты. При их перемножении получается многочлен, имеющий также только положительные коэффициенты. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, необходимый критерий устойчивости одновременно является и достаточным.

Все критерии устойчивости можно разделить на две группы: аналитические и частотные. Рассмотрим наиболее широко применяемые критерии обеих групп.

2.2.1. Аналитические критерии устойчивости

К этой группе относятся критерии, которые позволяют проверить устойчивость аналитическими вычислениями над коэффициентами характеристического уравнения. Они еще часто называются алгебраическими.

Критерий Вышнеградского.

Русским математиком И.А.Вышнеградским в 1876 году было определено условие устойчивости САР, описываемой линейным дифференциальным уравнением третьего порядка. Характеристическое уравнение будет иметь вид:

(2.6)

Разделим уравнение (2.6) на а₃ . В результате имеем

(2.7)

где

Перейдем к безразмерному параметру , приняв . Тогда получим уравнение Вышнеградского:

(2.8)

Условие обеспечения устойчивости системы третьего порядка Вышнеградский определил неравенством или . Предельное условие устойчивости определяется при или уравнением гиперболы, построенной в плоскости координат и как это показано на рис. 2.5. Кривая границы устойчивости делит плоскость на две области – область устойчивости ( ) и область неустойчивости ( ). Область устойчивости в зависимости от взаимного расположения корней характеристического уравнения может быть разделена на три подобласти, каждой из которых соответствует определенный вид переходного процесса. По графику областей устойчивости можно для САР третьего порядка по заданным параметрам определить вид переходной характеристики или, наоборот, по желаемому виду переходного процесса подобрать тот или иной параметр системы.

Критерий Гурвица.

В1885 году швейцарским математиком А.Гурвицем был выведен аналитический критерий устойчивости для линейных САР, который базируется на теории определителей.

Профессор математики Кембриджского университета Раус в 1875 году сформулировал условия устойчивости в виде таблицы. Оба эти критерия приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам и отличаются только способом их получения. Поэтому часто указанные критерии объединяют, называя критерием Рауса-Гурвица. Рассмотрим этот критерий в форме Гурвица. Он формулируется следующим образом: для устойчивости линейной САР n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при a_n>0 были положительными n определителей Гурвица, составленных из коэффициентов характеристи-ческого уравнения системы.

Рис. 2.5. Диаграмма и.А.Вышнеградского

Определители Гурвица представляют собой диагональные определители квадратной матрицы n-го порядка

(2.9)

При составлении определителя Гурвица n-го порядка необходимо соблюдать следующие правила:

• по главной диагонали выписывают все коэффициенты от а_n-1 до а₀ в порядке уменьшения индексов;

• все столбцы определителя дополняют вниз от диагонали коэффициентами с последовательно возрастающими индексами, а вверх – с убывающими;

• на место коэффициентов с отсутствующими индексами ставят нули.

В соответствии с критерием САР n-го порядка будет устойчива при a_n>0, если

Пример. Проверить устойчивость САР, которая имеет следующее характеристическое уравнение

где а₃=50; а₂=2; а₁=80; а₀=4.

Определители Гурвица будут иметь вид

Остальной определитель можно не считать, т.к. отрицательность уже свидетельствует о неустойчивости системы.