Энергия гармонического осциллятора (механические колебания).

Гармонический осциллятор— это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению (согласно закону Гука): F=-kx, где k — положительная константа, описывающая жёсткость системы.Если F— единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды. Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания. Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами смещения), груз на пружине. В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы , закреплённый на пружине жёсткостью k. Пусть x — это смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила: F=-kx. Используя второй закон Ньютона, запишем a=-(k/m)*x. Обозначая (w0)^2 и заменяя ускорение на вторую производную от координаты по времени , напишем: x’’+w0^2x=0. Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент ω0 называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на 2π). Общее решение уравнения записывается в виде: x(t)=Asin(w0t+фи), где амплитуда A и начальная фаза фи — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).Кинетическая энергия , - потенциальная, полная Полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и не зависит от времени – E=1/2kA^2. Логарифмический декремент затухания - логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону. . Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Энергия гармонического осциллятора (электромагнитные кллебания).

Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности Е и индукции В.Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи. Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона и равна (в Герцах): . Пусть конденсатор ёмкостью Cзаряжен до напряжения U0. Энергия, запасённая в конденсаторе составляет . При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток I, что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора E_C = 0. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна , где L — индуктивность катушки, I_0 — максимальное значение тока. После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения − U_0.В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром. Уравнение гармонического осциллятора , где Ia — некая постоянная, называемая амплитудой колебаний, фи — также некоторая постоянная, называемая начальной фазой. И, например, при начальных условиях фи=0 решение сведётся к i(t)=Iasin(wt), где w=1/(LC)^1/2 - круговая частота - собственной частотой гармонического осциллятора.