Затухающие механического колебания. Дифференциальное уравнение. Характеристики затухания.

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.

По физической природе

Механические (звук, вибрация)

Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)

Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных

Свободные колебания в контуре всегда затухающие.

Затухание колебаний тем сильнее, чем больше активное сопротивление. На (рис.1 6) даны графики колебаний контура при различных активных сопротивлениях. Частота колебаний остается неизменной, несмотря на уменьшение амплитуды. Если активное сопротивление контура очень велико, то затухание настолько возрастает, что колебания вообще не возникают.

Активное сопротивление оказывает некоторое влияние и на частоту колебаний. Чем больше (г), тем меньше частота. Но влияние это незначительно и его практически не учитывают.

Математически величину затухания колебаний принято оценивать отношением активного сопротивления (г) к характеристическому сопротивлению (р). Это отношение называют затуханием контура и обозначают греческой буквой (дельта); (дельта)=r/p=r/2*пи*(фи нулевое)*L

Для характеристики затухающих колебаний используются коэффициент затухания (S), логарифмический декремент (D) и добротность (Q).

Коэффициент затухания отражает быстроту убывания амплитуды с течением времени. Если обозначить время, в течение которого амплитуда уменьшается в е = 2,718 раза, через τ, то:

Уменьшение амплитуды за один цикл характеризуется логарифмическим декрементом. Логарифмический декремент равен отношению периода колебаний ко времени затухания τ:

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

де Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости, Fc = − cv, Fy = − kx, то есть ma + cv + kx = 0 или в дифференциальной форме где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — ускорение горизонтального движения грузика. Для упрощения вводятся следующие обозначения: Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.