Вынужденные механические колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Резонанс.

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением — это когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: . Если ввести обозначения: и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее дифференциальное уравнение:

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид: где A,φ произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: и получим значение для константы: . Тогда окончательное решение запишется в виде: .

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы равной частоте свободных колебаний оно не пригодно - возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: . Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что : . Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение. Характеристики затухания.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний v_t’или её квадрата.

В действительности колебательный контур имеет некоторое активное сопротивление; оно распределено главным образом в катушке, а также в соединительных проводах и отчасти в конденсаторе. На (рис.1 в) показана так называемая эквивалентная схема реального контура, в которой активное сопротивление (г) условно показано включенным последовательно, а катушка и конденсатор считаются не имеющими активного сопротивления. Активное сопротивление иначе называют сопротивлением потерь. Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности Е и индукции В.Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

Свободные колебания в контуре всегда затухающие.

Затухание колебаний тем сильнее, чем больше активное сопротивление. На (рис.1 6) даны графики колебаний контура при различных активных сопротивлениях. Частота колебаний остается неизменной, несмотря на уменьшение амплитуды. Если активное сопротивление контура очень велико, то затухание настолько возрастает, что колебания вообще не возникают.

Активное сопротивление оказывает некоторое влияние и на частоту колебаний. Чем больше (г), тем меньше частота. Но влияние это незначительно и его практически не учитывают.

Математически величину затухания колебаний принято оценивать отношением активного сопротивления (г) к характеристическому сопротивлению (р). Это отношение называют затуханием контура и обозначают греческой буквой (дельта); (дельта)=r/p=r/2*пи*(фи нулевое)*L

Для характеристики затухающих колебаний используются коэффициент затухания (S), логарифмический декремент (D) и добротность (Q).

Коэффициент затухания отражает быстроту убывания амплитуды с течением времени. Если обозначить время, в течение которого амплитуда уменьшается в е = 2,718 раза, через τ, то:

Уменьшение амплитуды за один цикл характеризуется логарифмическим декрементом. Логарифмический декремент равен отношению периода колебаний ко времени затухания τ: