Ильинский Н.Ф. Общий курс электропривода [pdf]
.pdf
от изученных ранее случаев, когда еп или f1 изменялись мгновенно, то есть мгновенно уста-
навливалась соответствующая новая механическая характеристика, а изменение скорости ω и момента М в переходном процессе происходило согласно именно этой характеристике.
Переходный процесс определялся статической механической характеристикой привода.
В рассматриваемых далее задачах еп или f1 изменяются, как указывалось, не мгновенно, то есть переход привода с одной характеристики на другую происходит постепенно, одно-
временно с изменением скорости, в результате чего соответствие между скоростью ω и моментом М в каждый момент времени определяется не статической механической характеристикой, а другой, отличной от нее характеристикой, которую мы далее будем называть динамической механической характеристикой или просто динамической характеристикой.
В качестве примера на рис. 5.13 показана статическая характеристика асинхронного двигателя при номинальной частоте 1, по которой будет происходить пуск при мгновенном приложении к двигателю напряжения такой частоты, и динамическая характеристика 2, соответствующая пуску двигателя путем плавного изменения частоты от нуля до номинальной по некоторому закону.
Рис. 5.13. Статическая 1 и динамическая 2 механические характеристики Динамические характеристики определяются темпом изменения фактора, вызывающе-
го переходный процесс, и параметрами привода, могут очень сильно отличаться от статических характеристик и даже иметь совсем другую форму.
Легко обнаружить связь зависимостей ω(t) и М(t) с динамической характеристикой привода: исключив время t из уравнений ω(t) и М(t), мы получим динамическую характеристику.
а) Уравнения, описывающие переходные процессы. |
|
Из уравнения механической характеристики (5.4) получим: |
|
М = β ω0 − β ω. |
(5.5,а) |
Подставив (5.5,а) в уравнение движения (5.1), после элементарных преобразований будем иметь:
ω + |
|
|
J dω |
= ω0 − |
M c |
= ωc . |
(5.13) |
|||||
|
|
β |
|
|
dt |
|
β |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J
Коэффициент при производной β , как и раньше, – электромеханическая постоянная
времени Тм. Правая часть уравнения представляет собою скорость ωс, соответствующую мо-
менту сопротивления Мс, однако, в рассматриваемом случае ω0 , а значит и ωс не постоянные величины, а известные функции времени ω0(t) и ωc(t). Таким образом, уравнение (5.13) имеет вид:
ω +T м |
dω |
= ωc( t) . |
(5.14) |
|
dt |
||||
|
|
|
Решение этого дифференциального уравнения определит искомую зависимость ω(t). Для получения зависимости М(t) удобно воспользоваться непосредственно уравнением
движения (5.1), подставив в него производную найденной функции ω(t):
М = М с + J |
dω( t) |
. |
(5.15) |
|
|||
|
dt |
|
|
Правая часть уравнения (5.14), вообще говоря, может иметь любой вид. Закон ω0(t) в случае безынерционного преобразователя формируется на его входе; при инерционном пре-
образователе закон ω0(t) связан со свойствами преобразователя. В ряде случаев закон ω0(t)
формируется таким образом, чтобы получить требуемый закон ω(t).
б) Уравнение переходных процессов при линейном законе ωс(t)
Получим решение уравнения (5.14) для одного важного вида функции ωс(t) – для ли-
нейного изменения ωс во времени:
(5.16)
Такой закон может быть сформирован при безынерционном преобразователе с помощью задатчика интенсивности.
Мы используем здесь общее уравнение прямой, не накладывая пока никаких ограничений на величины а и k с тем, чтобы, рассматривая частные случаи, можно было пользоваться полученным общим результатом.
Уравнение (5.14) с учетом (5.16) имеем вид:
ω +Т м |
dω |
= a + kt. |
(5.17) |
|
dt |
||||
|
|
|
Решение будем искать, как и прежде, в виде суммы свободной ωсв и принужденной ωпр составляющих:
ω = ωсв + ωпр . |
(*) |
||
Свободная составляющая, то есть решение однородного уравнения, полученного из |
|||
(5.17) имеет вид: |
|
|
|
− |
t |
|
|
Т м . |
|
||
ωсв = Ае |
|
||
Принужденную составляющую будем искать, учитывая (5.16), в виде:
ωпр = В + kt,
так как в установившемся режиме скорость будет линейно изменяться во времени. Подста-
вив ωпр в (5.17) получим:
В + kt + kTм = a + kt
или
B = a – kT м.
Подставим теперь ωсв иωпр в (*):
− |
t |
|
|
|
|
Тм + a− kT м + kt. |
|
||||
ω = Ае |
|
||||
Постоянную А найдем, используя начальные условия: при t = 0 ω = ωнач: |
|
||||
ωнач = А + а – kTм, |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
А = ωнач – а + kTм |
|
||||
Окончательно будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
Т м +a − kT м + kt . |
|
||
ω =( ωна÷ −а+ kT м )е |
(5.18) |
||||
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых конкретных переходных процессов в системе П-Д.
в) Пуск вхолостую.
Будем полагать, что закон изменения во времени фактора, вызывающего переходный процесс, еп или f1 или в общем случае ω0 имеет вид, представленный на рис. 5.14 справа вверху. Так как Мс = 0 (пуск вхолостую), то ωс = (t) будет совпадать с ω0(t) – см. уравнение
(5.13), т.е. а = 0 и
k = ω01 = ε, t1
где ε – ускорение, характеризующее темп изменения ω0;
при 0 < t < t1 ωс(t) = εt;
при t > t1 |
ωс(t) =ω01 = сonst. |
Излом функции ωс(t) при t = t1 свидетельствует о том что переходный процесс состоит из двух этапов, и его необходимо рассчитать отдельно для каждого участка.
I этап (0 < t < t1).
Приняв, что при t = 0 ωнач = 0 и подставив в (5.18) а = 0, k = ε, получим
− |
t |
− |
t |
|
|
Тм |
Tм ) . |
|
|||
ω = εТ ме |
− εТ м + εt = εt −εT м( 1 −е |
(5.19) |
|||
Рис. 5.14. Механические характеристики и графики переходного процесса при пуске вхолостую с ω0(t) = εt
Воспользовавшись уравнением (5.15), найдем закон изменения момента во времени:
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
||
|
|
|
|
Tм ) . |
|
||||||
|
|
|
|
М = Jε( 1 − e |
(5.20) |
||||||
Проанализируем полученные уравнения. |
|
|
|
|
|
||||||
Ускорение привода определится как |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dω |
= ε( 1−e− |
t |
|
|||
|
|
|
|
|
T м |
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
и при t = 0 |
dω |
|
t =0 |
= 0. Этот результат очевиден: при t = 0 ωс = ω0 = 0 т.е. еп = 0 или f1 = 0, |
|||||||
|
|||||||||||
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
привод не развивает момента и в соответствии с уравнением движения (5.1) J ddtω = 0 и
dω |
= 0 . |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При t > 3Тм |
dω |
|
|
t >3Tм ≈ ε, т.е. скорость изменяется в том же темпе, что и фактор, вы- |
|
|
||||
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
||
зывающий переходный процесс. Из уравнения (5.19) следует, что при t > 3Тм |
|
ω = ε(t – Тм) = ωс(t) – εТм . |
(5.19,а) |
Графики ωс(t) и ω(t) представлены на рис. 5.14. Кривая ω(t) сдвинута вправо относи-
тельно кривой ωс(t) на величину Тм; в каждый момент времени при t > 3Тм разница между ωс и ωсоставляет εТм.
Момент в соответствии с (5.20) возрастает по экспоненциальному закону (см. рис. 5.14)
и при t > 3Тм достигает величины |
|
Mмакс = Jε. |
(5.20,а) |
Это соотношение позволяет оценить допустимую величину ε. Действительно, если считать, что в переходном процессе Ммакс = Мдоп, то
εдоп = МJдоп .
Вчастности, можно найти минимальное время пуска привода при котором момент не превысит допустимого значения:
t |
= |
|
|
ω01 |
= |
Jω01 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
1мин |
|
|
|
|
εдоп |
М доп |
|||||||
Если положить, что Мдоп = 2 Мн, а |
|
β |
|
= |
|
20М н |
, что справедливо для нормальной |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ω01 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
электрической машины средней мощности, то получим |
|
|
|||||||||||
t1мин |
= |
|
|
J |
10 = 10Т м. |
||||||||
|
|
β |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II этап (t > t1).
На II этапе ωс =ω01 , а значит, и еп или f1 имеют постоянную величину. Переходный процесс в этом случае ничем не отличается от рассмотренных ранее переходных процессов,
отнесенных к первой группе задач. Если отсчитывать время от t1, (точка 0’), то скорость ω и момент М будут изменяться в соответствии с уравнением (5.10); в качестве хнач следует при-
нять значения ω и М в момент времени t1. Если t1< 3Тм, начальные значения должны быть лпределены по (5.19) и (5.20) при подстановке в эти уравнения t = t1.
В качестве хкон, очевидно, следует взять ω01 и 0.
Графики ω(t) и M(t) на II этапе показаны на рис. 5.14. Там же слева приведена динамическая механическая характеристка для случая пуска вхолостую.
Все рассмотренные выше величины и зависимости имеют очевидный физический смысл для системы П-Д с двигателем постоянного тока. Действительно,
ω0( t) = еп(ct) ; ω( t) = e(ct) ,
т.е. кривая ω0(t) представляет собою в некотором масштабе закон изменения во времени еп, а
кривая ω(t) – закон изменения е в том же масштабе. Разность этих величин в соответствии с вторым законом Кирхгофа определит ток, протекающий в якорной цепи:
i( t) = eп( t) − e( t) , RΣ
а значит, и момент, развиваемый двигателем
M(t) = ci(t).
г) Реверс (торможение) вхолостую.
Для осуществления реверса ω0 должна изменить направление. Это значит, что еп уменьшается до 0, затем изменяет полярность и возрастает до заданной величины, либо f1 уменьшается до 0, меняется чередование фаз и f1 возрастает до заданной величины.
Как и прежде, будем считать, что изменение ω0 во времени осуществляется по линей-
ному закону при (0 < t < t1), затем при t > t1 ω0 = ω01. Таким образом, переходный процесс состоит из двух участков, которые следует рассматривать отдельно. Так как переходный процесс осуществляется вхолостую (Мс = 0), то ωс(t) = ω0(t).
I этап (0 < t < t1).
На I этапе изменение ωс(t) можно представить уравнением (5.16), подставив в него а =
ω01, k = -ε. Тогда, воспользовавшись уравнением (5.18), в котором ωнач = ω01, получим
−t
ω= −εТ ме Тм +ω01 +εТ м −εt
или
|
|
|
− |
|
t |
|
|
|
|
|
Tм ) . |
|
|||||
ω = ω01 − εt + εT м( 1 − е |
(5.21) |
|||||||
Уравнение (5.16) определяет закон изменения М во времени: |
|
|
|
|
||||
|
dω |
= −Jε( 1 − e− |
t |
|
|
|
|
|
М = J |
Tм |
) . |
(5.22) |
|||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Проанализируем полученные уравнения. Ускорение привода
ddtω = −ε( 1 − e−Ttм ) .
|
При t = 0 |
dω |
|
|
t=0 |
= 0, что очевидно и с физической точки зрения: при t = 0 М= 0 т.е. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
J |
dω |
= 0 и |
dω |
|
= 0 . |
|
|
||||||
|
dt |
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
При t > 3Тм |
|
dω |
|
|
t >3Tм ≈ −ε, т.е. как и при пуске, скорость изменяется в том же темпе, |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
dt |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что и фактор, вызвавший переходный процесс. При t > 3Тм
ω = ω01 – ε(t – Тм) = ωс(t) + εТм ,
т.е. как и при пуске, кривая ω(t) располагается правее кривой ωс(t) , причем сдвиг по оси t
составляет величину Тм, а в каждый момент времени при t > 3Тм разница между ωс и ω составляет εТм.
Момент отрицателен и изменяется по экспоненциальному закону до величины
Mмакс = – Jε.
II этап (t > t1).
Переходные процессы на II этапе подчиняются уравнению (5.10) и рассчитывается очевидным образом.
Кривые ωс(t), ω(t) и М(t) и динамическая характеристика показаны на рис. 5.15.
Рис. 5.15. Механические характеристики и графики переходного процесса при реверсе вхолостую с ω0(t) = -εt
При торможении вхолостую ω0 изменяется от значения ω01 до нуля. Как и при реверсе,
процесс состоит из двух этапов, причем на I этапе (0 < t < t1 ) кривые ω(t) и М(t) не отлича-
ются от аналогичных кривых при реверсе, а на II этапе – подчиняются уравнению (5.10) с соответствующими хнач и хкон.
Кривые ω(t) и М(t), а также динамическая характеристика показана на рис. 5.16.
Рис. 5.16. Механические характеристики и графики переходного процесса при торможении вхолостую с ω0(t) = -εt
Рассмотрим кратко порядок операций при построении кривых переходного процесса в рассматриваемых случаях.
1. Изображается ωс(t), в рассмотренных случаях ωс(t)= ω0(t); отмечаются этапы и опре-
деляется ε на этапе, где ωс(t) изменяется.
2.Проводится линия, параллельная ωс(t) и сдвинутая вправо на Тм, – это и будет основа графика ω(t).
3.Корректируется график ω(t) на начальном и конечном (II) участках, введением экспонент с постоянной времени Тм.
4.Строится основа графика М(t) – прямоугольник со сторонами 0 – t1 и Jε; в случае ре-
верса и торможения ε имеет отрицательный знак.
5. Корректируется график М(t) на начальном и конечном участках, введением экспонент с постоянной времени Тм.
Переходные процессы под нагрузкой.
Общие формулы (5.15) и (5.18) справедливы и для этого случая, вместе с тем различия в характере нагрузки – Мс может быть как активным, так и реактивным – и в начальных условиях делают задачи разнообразными и иногда не очень простыми.
Выясним прежде всего, как будет изменяться правая часть (5.13), т.е. ωс(t) =ω0(t) – Мс /
β , при тех же, что и прежде, изменениях ω0(t), но различном характере Мс.
Как показано на рис. 5.17, при активном моменте сопротивления ωс(t) располагается ниже ω0(t) на ∆ω и никаких существенных отличий в алгоритме решения задачи нет. Единственное, пожалуй, о чем следует позаботиться, – о правильном учете начальных условий при пуске. Возможны два случая – первый, когда при t = 0 ω = 0, т.е. когда растормаживание привода с активным моментом и начало роста ω0(t) совпадают, и второй, когда до начала пуска привод вращался под действием активного Мс с небольшой скоростью -∆ω – пунктир на рис. 5.17.
Рис. 5.17. Переходный процесс пуска при активном Мс При пуске с реактивным Мс (рис. 5.18) скорость начинает изменяться через некоторое
время tз, за которое момент двигателя вырастет до значения Мс. В качестве примера на рис. 5.18 показаны все кривые, соответствующие этому случаю.
Рис. 5.18. Переходный процесс пуска при реактивном Мс
При реверсе с реактивным Мс имеются две ветви ωс(t), причем переход с одной на дру-
гую осуществляется в момент времени, когда скорость, достигнув нулевого значения, изменит знак.
Таким образом, как следует из изложенного в системе преобразователь – двигатель можно формировать любые требуемые динамические характеристики.
5.4. Переходные процессы при L≠0
Ограничим рассмотрение задач этой группы случаями, когда механические характеристики привода линейны.
Как и прежде, переходный процесс должен удовлетворять уравнению (5.1)
М − М с = J ddtω ,
однако изменение М, а значит и ddtω теперь будет определяться не только внешним воздей-
ствием, но и электрической инерционностью – индуктивностью L. В системе действуют два накопителя энергии J и L и при определенных условиях возможен обмен энергией между этими накопителями, т.е. колебательный процесс.
а) Переходный процесс в электроприводе с двигателем постоянного тока независимого возбуждения при Lя≠0.
Рассмотрим схему на рис. 5.19. Отличительной особенностью схемы по сравнению с рассмотренными ранее является индуктивность Lя. Для якорной цепи справедливо уравнение:
|
|
U = iR я +сω + L я |
|
di |
, |
(5.23) |
|||||||||
|
|
|
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решив которое относительно ω: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
U − L |
я |
di |
|
iRя |
|
|
|
|||||
|
|
ω = |
dt |
|
|
− |
|
(*) |
|||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и обозначив U − L я |
di |
=U' , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
U' −iR я |
. |
|
|
(**) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
||