Xlv Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Дистанционный тур. Возможные решения задач 9 класса.

Задача 1. Удачная атака.

В задаче есть несколько систем отсчета и надо быть внимательным к тому, в какой системе задаётся скорость объекта. По условию задачи скорость движения торпеды в воде постоянна по модулю. Однако, пуск торпеды производится с движущейся подводной лодки и это вносит поправку в направление движения торпеды. Найдем это направление (см. рисунок). Подводная лодка движется в северо-западном направлении, что составляет угол 135 градусов с линией, соединяющей её и вражеский корабль в момент его обнаружения. Поправка к углу 45 градусов для скорости торпеды относительно воды определяется правилом сложения скоростей:

, (1)

. (2)

Отсюда следует, что , а торпеда стартует под углом 75 градусов к линии, соединяющей подлодку и корабль. Тем не менее, поправку к модулю скорости движения торпеды в воде движущаяся подлодка создать не может, так как этот модуль зависит лишь от ТТХ торпеды. Поведение торпеды в момент пуска можно описать следующим образом: в начальный момент благодаря движению подлодки торпеда относительно воды приобретает скорость , однако в воде притормаживает до своей естественной скорости , сохраняя скорректированный курс .

Перейдем далее в систему отсчета, связанную с торпедой. Обозначим относительную скорость движения вражеского корабля и торпеды как . Минимальное расстояние между торпедой и кораблем равняется длине перпендикуляра, опущенного из торпеды на траекторию движения корабля. Спроектируем все вектора на линию перпендикулярную линии, соединяющей торпеду и корабль:

, (3)

где обозначает угол, образуемый вектором движения вражеского корабля в системе отсчета торпеды и линией, соединяющей корабль и торпеду. По условию задачи торпеда поразила цель, и это означает, что

. (4)

Тогда для скорости вражеского корабля из (3) и (4) получим:

м/c (5)

Критерии оценивания

Вычисление поправочного угла - 2 балла.

Вывод о том, что скорость движения торпеды относительно воды определяется только её ТТХ - 2 балла.

Переход в систему отсчета торпеды и вывод формулы (3) - 4 балла.

Получение численного результата (5) - 2 балла.

Задача 2. Падение цепочки.

Выберем систему координат, начало отсчета которой связано с полом, а ось Y направим вверх. Тогда координата центра тяжести всей цепочки в исходном состоянии запишется как

, (1)

где m – масса цепочки. В (1) учтено, что вклад в положение центра масс вносят две части цепочки – находящаяся на столе и свободно свисающая.

Так как в процессе движения цепочка удлиняется, то на неё будет действовать переменная сила, расчет которой в рамках метода Ньютона включает в себя решение нелинейного дифференциального уравнения. Это затруднение можно обойти, используя закон сохранения энергии. В начальный момент времени потенциальная энергия цепочки равна:

. (2)

Работа по переносу центра тяжести цепочки на вертикаль падения не совершается, так как цепочка движется только под действием силы тяжести. Потенциальная энергия цепочки в момент отрыва от стола запишется как

. (3)

Разность энергий (2) и (3) определяет кинетическую энергию, которую приобрело тело между этими двумя моментами врмени:

. (4)

Выражая из (4) скорость, получим:

. (5)

Цепочка упадет на пол, когда последнее её звено коснётся пола. Таким образом, интересуещее нас время можно найти из квадратного уравнения:

, (6)

корни которого имеют вид:

. (7)

Здесь надо отбросить не имеющее физического смысла решение. Окончательно получим:

. (8)

Критерии оценивания

Вычисление центра тяжести цепочки (1) - 2 балл.

Использование закона сохранения энергии (4) - 4 балла.

Вычисление скорости (5) - 2 балла.

Получение численного результата (8) - 2 балла.

Задача 3. Из чего сделаны шары?

Так как шары имеют одинаковую массу, то использование экспериментов с поступательным движением шаров не принесёт пользы. Проще всего использовать вращательное движение. Если положить шары на наклонную плоскость и отпустить их, то силы, действующие на них, будут одинаковые. Однако, свинцовый шар отстанет от алюминиевого. Причина этого состоит в том, что при вращательном движении инерционные свойства тела определяются не столько его массой, сколько распределением этой массы вокруг оси вращения. Тело, у которого масса в среднем удалена дальше от оси вращения будет обладать большей инертностью по сравнению с телом, масса которого прижата к оси. Этот эффект можно увидеть из простых соотношений. Запишем изменение импульса тела за единицу времени при вращательном движении:

. (1)

Здесь – угловая скорость движения, R – расстояние от оси вращения до массы. Предположим, что изменения импульса для обоих шаров одинаковы. Это можно сделать, например, скатывая одновременно оба шара по одной и той же наклонной плоскости. Для более плотного материала (свинца) шаровой слой будет более тонким, т.е. значение R будет больше. Это означает, что при равных массах угловая скорость свинцового шара будет меньше, чем у алюминиевого:

. (2)

Таким образом, свинцовый шар будет отставать.

Критерии оценивания

Идея об использовании вращательного движения - 4 балла.

Использование формулы для центростремительного ускорения (1) - 4 балла.

Вывод об отставании свинцового шара - 2 балла.

Задача 4. Задача об электростанции.

Гидроэлектростанция вырабатывает энергию за счет потенциальной энергии потока воды, падающего с высоты плотины и проходящего через турбину станции. Обозначим массу элемент потока как . Этот элемент, падая с высоты H, передаёт станции энергию

. (1)

С другой стороны, для того, чтобы эта масса воды испарилась её надо сначала нагреть до температуры кипения, а затем передать ей дополнительную теплоту, чтобы вода испарилась. В сумме получаются энергозатраты:

, (2)

где - удельная массовая теплоёмкость воды, - удельная теплота парообразования. Их табличные значения Дж/кг и Дж/кг. Если потерь мощности не происходит, то энергии (1) и (2) должны быть равны:

. (3)

Откуда получаем оценку для высоты плотины такой гидроэлектростанции:

км . (4)

При получении ответа (4) было сделано предположение, что С, а С. Так как полученное значение (4) совершенно нереалистично, то приходится признать, что в таком режиме ни одна гидроэлектростанция работать не способна.

Критерии оценивания

Вывод об источнике получения энергии на гидроэлектростанции - 3 балла.

Оценка энергии, необходимой для испарения воды - 3 балла.

Получение расчетной формулы для высоты плотины - 2 балла.

Получение численного результата и вывод - 2 балла.

Задача 5. Чему равно сопротивление резисторов?

Исходя из схемы, можно записать:

, (1)

. (2)

При этом справедливы следующие соотношения:

, (3)

. (4)

Решая эти уравнения попарно, получаем:

, Ом (5)

, Ом (6)

Критерии оценивания

Запись выражений (1-2) - 3 баллов.

Использование выражений для падения напряжения (3-4) - 3 балла.

Вывод конечных формул и получение численного результата - 4 балла.