- •Часть II
- •10.1 Общие сведения
- •10.2 Основные физические характеристики рудничного воздуха
- •10.3 Основные законы аэростатики
- •10.4 Режимы движения воздуха в шахтах. Критерий Рейнольдса
- •10.5 Основные законы аэродинамики
- •10.6 Типы воздушных потоков
- •Литература
- •Лекция № 11 Аэродинамическое сопротивление горных выработок
- •11.1 Основной закон движения воздуха по горным выработкам
- •11.2 Законы сопротивления
- •11.3 Виды сопротивлений
- •11.4 Единицы сопротивления. Эквивалентное отверстие
- •Литература
- •Лекция № 12 Шахтные вентиляционные сети и методы их расчета
- •12.1 Вентиляционная сеть. Вентиляционный план. Элементы шахтной вентиляционной сети
- •Законы расчета шахтных вентиляционных сетей
- •Литература
- •Лекция № 13 Виды вентиляционных соединений и их расчет
- •13.1 Последовательное, параллельное и диагональное вентиляционные соединения
- •13.2 Расчет сложного параллельного соединения
- •Литература
- •Лекция № 14 Расчет сложных вентиляционных соединений
- •14.1 Преобразование треугольника в звезду
- •Графические методы расчета вентиляционных сетей
- •Литература
10.5 Основные законы аэродинамики
Движение воздуха в шахтах подчиняется тем же основным законам, что и остальные физические явления материального мира, а именно: закону сохранения массы и закону сохранения энергии. Эти фундаментальные законы природы, примененные к движению воздуха в горных выработках, определяют основные характеристики шахтных вентиляционных потоков. К этому следует добавить второй закон Ньютона или закон количества движения, позволяющий получить уравнение движения воздуха, связывающее основные характеризующие движение величины.
Закон сохранения массы.Закон сохранения массы применительно к движению воздуха можно сформулировать следующим образом: масса любого объема воздуха остается постоянной в процессе его движения.Иными словами, изменение массы во времени равно нулю.
Если в потоке воздуха выделить элементарный объем , достаточно малый, чтобы плотность воздуха в немможно было считать постоянной, то закон сохранения массы можно представить:
, (10.20)
где -масса выделенного объема;
t–время.
Уравнение (10.20) можно преобразовать через проекции скорости потока в рассматриваемой точке:
, (10.21)
где , , w–проекции скорости потока в точке на оси координат.
Уравнение (10.21) называется уравнением неразрывности.
Для стационарного движения, при котором характеристики потока в некоторой фиксированной точке пространства (плотность, скорость, давление и др.) не изменяются во времени,и уравнение неразрывности будет:
, (10.22)
а при =const:
(10.23)
В выработке постоянного сечения =w=0 и из (10.23) имеемu=const, т.е. скорости воздуха в сходственных точках постоянны.
Из уравнения (10.23) следует, что в однородном по плотности потоке увеличение скорости в одном направлении должно вызывать соответствующее уменьшение ее в другом направлении. Например, при переходе потока из узкой выработки в широкую, в общем случае, появляется составляющая скорости , которая в узкой выработке была равна нулю (рис.10.1). Следовательно,а (w=0 в обеих выработках), т.е. в расширяющейся части выработки продольная скоростьuуменьшается.
w=0 y
=w=0
u
0x
Рисунок 10.1 – Изменение скорости воздуха при расширении
потока
Из уравнения неразрывности (10.20) для изотермического потока следует уравнение расхода:
u1·S1=u2·S2, (10.24)
гдеS1 иS2–площади начального и конечного сечений элементарной
струйки потока;
u1 иu2 -скорости движения воздуха через эти сечения.
Интегрируя правую и левую части уравнения (10.24) по всему сечению выработки, получим:
Q1=Q2, (10.25)
т. е. объемный расход воздуха в выработке является величиной постоянной. Уравнение (10.25) не соблюдается при разветвлении струй и утечках воздуха из выработки, а для неизотермических потоков вместо него следует написать
М1=М2, (10.25а)
гдеМ1,М2 -массовые расходы воздуха.
Закон сохранения энергии. Для случая движения воздуха закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом: изменение энергии произвольного объема воздуха за некоторый промежуток времени при его движении равно сумме количества сообщенного ему тепла и работы приложенных к объему внешних сил за то же время, т.е.
Евн+Еп+Ек=J·Q+A, (10.26)
гдеЕвн -изменение внутренней энергии данного объема воздуха, оп-
ределяемой кинетической энергией движения молекул и по-
тенциальной энергией их взаимодействия;
Еn -изменение потенциальной энергии этого объема, опреде-
ляемого его перемещением по вертикали;
Ек -изменение кинетической энергии объема;
J-механический эквивалент тепла;
Q - количество тепла, полученное (отданное) данным объемом
воздуха;
А - работа внешних сил.
Внешними силами при движении воздуха по выработке являются силы трения о стенки и силы статического давления, приложенные к поверхности рассматриваемого объема.
В случае адиабатического движения несжимаемой жидкости, которой можно считать воздух, при существующих в шахте давлениях Евн=Q=0. При этих условиях для установившегося движения элементарной струйки воздуха соотношение (10.26) может быть записано в виде:
(10.27)
где -удельный вес воздуха;
p -давление воздуха;
z -аппликата центра тяжести сечения струйки относительно про-
извольной горизонтальной плоскости сравнения;
u -скорость воздуха в рассматриваемом сечении струйки;
h -работа внешних сил, отнесенная к единице веса воздуха.
Уравнение (10.27) называется уравнением Бернуллив дифференцированной форме (по имени русского ученого Даниила Бернулли, впервые получившего это соотношение в 1738 г.).
Интегрируя выражение (10.27) вдоль струйки от сечения Iдо сеченияII (рис. 10.2) при =const, получим:
(10.28)
Уравнение (10.28) может быть записано для случая разного удельного веса воздуха в IиII сечениях и для всего потока в выработке в виде:
, (10.29)
гдеp1-p2–разность статических давлений воздуха в сечениях I и II;
1·z1-2·z2 - разность давлений двух столбов воздуха, имеющих
высоту z1 и z2 и удельный вес 1 и 2;
-разность динамических давлений в сече-
ниях I и II
u
I
p1
u1
z1
II
p2 u2 z2
плоскость сравнения
Рисунок 10.2 – Элементарная струйка тока
Коэффициенты k1иk2в уравнении (10.29) называются коэффициентами кинетической энергии и учитывают неравномерность распределения скоростей в сеченияхIи IIвыработки.
Величина hв уравнении (10.29) обозначает работу всех внешних сил при перемещении рассматриваемого объема воздуха изI-го во II-е сечение. Роль внешних сил может заключаться в уменьшении первоначальной энергии воздуха (силы сопротивления) или в ее увеличении (например, при работе вентиляторов); в первом случаеh0, во второмh0.
В уравнении (10.29) первые два слагаемых в скобках представляют собой изменение потенциальной энергии потока, третье – изменение его кинетической энергии. Как видим, изменение полной энергии потока между двумя произвольными его сечениями равно энергии, затраченной на преодоление сопротивлений движению воздуха на этом участке (h0), или поступлению энергии в поток (h0), или тому и другому одновременно.
Важным следствием из уравнения Бернулли является тот факт, что при h=constизменениеuв сечении вызывает обратное изменение р.Действительно, при увеличенииu2давление р2 должно уменьшаться, чтобы было соблюдено условие h=const. Справедливо и обратное заключение. Следовательно, увеличение скорости движения воздуха в сечении (например, вследствие его уменьшения) вызывает уменьшение в нем статического давления и наоборот.
Уравнение Бернулли является одним из основных уравнений рудничной аэродинамики, ибо, являясь математической формулировкой закона сохранения энергии, оно объединяет в себе все основные величины, необходимые для решения любой аэродинамической задачи.
В уравнении (10.29) все члены имеют размерность давления, т.е. кГ/м2=кГм/м3. Иными словами, уравнение Бернулли выражает баланс потенциальной и кинетической энергии единицы объема потока.