5.3 Показатели вариации

Вариация – это различие, колеблемость в значениях какого-либо признака у разных единиц совокупности. Например, студенты отличаются по росту, весу, затратам времени на самостоятельную работу, числу пропущенных занятий, баллу оценки по предметам и т.д.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Поэтому, величина каждого варианта объективна.

Средняя величина дает обобщающую характеристику изучаемой совокупности, но оно не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не показывает как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, то есть в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика. Это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности отличаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот – чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в этом случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему среднюю величину как обобщающую характеристику необходимо использовать наряду с показателями вариации, характеризующими отклонения отдельных значений от общей средней.

Для количественного измерения вариации признака в совокупностях используют в статистике ряд обобщающих показателей: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

• Размах вариации (R) - представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

R=х_мах- х_min

Например, предположим, что две бригады выполняют одинаковую работу, каждая – из трех человек. Количество изделий, штук, изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:

I бригада – 95, 100, 105 (х₁=100 шт);

II бригада – 75, 100, 125 (х₂=100 шт.)

Размах вариации сменной выработки в первой бригаде – R₁=105-95=10 шт; во второй бригаде – R₂=125-75=50 шт, то есть в 5 раз больше.

Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива».

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду.

• Среднее линейное отклонение (l) представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической

для несгруппированных данных -

где n – число значений;

для сгруппированных данных –

где - сумма частот вариационного ряда.

В нашем примере среднее линейное отклонение в бригадах будет:

шт.

шт.

Это значит, что в среднем сменная выработка каждого рабочего в первой бригаде отклоняется от средней выработки на 3 шт., а во второй – почти на 17 шт.

Показатель среднего линейного отклонения широко применяется на практике. С его помощью анализируются, например, состав рабочих, ритмичность производства, равномерность поставок и др. Но этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет использование методов математической статистики.

• Дисперсия признака ( ) представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины:

простая дисперсия для несгруппированных данных

,

взвешенная дисперсия для вариационного ряда

простыми преобразованиями могут быть получены формулы расчета дисперсии:

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. Она используется для оценки влияния факторов, обусловливающих вариацию признака, для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений и др.

Среднее квадратическое отклонение ( ) равно корню квадратному из дисперсии.

или

В рассмотренном нами примере

Дисперсия – величина неименованная, а среднее линейное и среднее квадратическое отклонение имеют те же наименования, что и изучаемый признак.

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Дисперсия альтернативного признака рассчитывается по формуле:

²=pq

где р – доля единиц, обладающих данным признаком;

q – доля единиц, не обладающих данным признаком.

Если, например, 3% всех деталей бракованные (р=0,03), то 97% - годные (q=0,97), тогда дисперсия брака будет равна

² = 0,03_*0,97=0,0291

Среднее квадратическое отклонение доли брака составит:

или 17,1%

Чем меньше дисперсия и среднее квадратическое отклонение признака, тем более однородна совокупность по данному признаку, тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнить вариацию различных признаков, например, стажа работы и заработной платы, возраста рабочих и квалификации, себестоимости и прибыли и т.д. Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации.

• Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации признаков, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 30%.

Коэффициент вариации в нашем примере:

Обе бригады однородны по сменной выработке рабочих, однако первая бригада более однородна, поскольку вариация признака составляет лишь 4,1% или 5 раз ниже, чем во второй бригаде.