Пример №1

Короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке 3, сжимается силой F, приложенной в точке «К». Определить положение нейтральной лини.

Положение нейтральной линии, как это было указано выше, определяется с помощью отрезков, которые отсекает нейтральная линия на координатных осях .

Рис.3.

Из приведенных выражений следует, что для их определения необходимы:

а) координаты полюса ;

б) геометрические характеристики заданного поперечного сечения .

Примечание: все вышеперечисленные величины привязывают к главным центральным осям.

Решение:

Оси - главные центральные, т.к. они являются осями симметрии;

Координаты полюса (точки «К») относительно осей

Геометрические характеристики поперечного сечения:

площадь - ;

осевые моменты инерции - ,

квадраты радиусов инерции

Положение нейтральной линии (отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях)

Соединив прямой линией концы отрезков (см. рис. 3) получаем нейтральную линию, которая делит заданное сечение на 2 зоны. Зону сжатия с точкой «К» и зону растяжения.

Пример №2.

Данный пример отличается от предыдущего только тем, что полюс (точка «К») расположена значительно ближе к центру тяжести (началу координат).

Координаты полюса (точки «К») относительно

Т.к. заданное поперечное сечение имеет те же размеры, что и в примере №1, то величины отрезков:

Рис.4.

Из приведенных примеров видно, что чем ближе к центру тяжести расположен полюс, тем дальше от него проходит нейтральная линия и на оборот. В данном случае (рис. 4) она проходит за пределами сечения, а значит в сечении возникают только сжимающие напряжения (зона растяжения отсутствует).

Пример №3

Данный пример отличается от предыдущих тем, что полюс расположен в нижней правой четверти заданного сечения.

Координаты полюса (точки «К») относительно

Т.к. заданное поперечное сечение имеет те же размеры, что и в примере №1 то, величины отрезков:

Рис.5.

Пример №4

В данном примере в отличии от предыдущих полюс располагается в верхней правой четверти заданного сечения.

Координаты полюса (точки «К») относительно :

Величины отрезков:

Результаты представленные в примерах 2, 3, 4 свидетельствуют о том, что полюс и нейтральная линия всегда находятся по разные стороны относительно центра тяжести.

Рис.6.

Пример №5

Короткий стержень прямоугольного сечения (рис. 7) сжимается силой F = 1200 кН, приложенной в точке «К».

Вычислить нормальные напряжения в опасных точках и построить эпюру

Нормальные напряжения при внецентренном сжатии стержней вычисляются по формуле (3):

где F – сжимающая сила (кН);

А – площадь поперечного сечения (см²);

– координаты полюса (см);

– квадраты радиусов инерции (см²); (см. пример №1)

– координаты опасных точек (см).

Рис.7.

Опасными точками в стержнях испытывающих деформацию изгиба, являются точки наиболее удаленные от нейтральной линии. Поэтому координаты опасных точек устанавливают лишь после определения положения нейтральной линии, на которой = 0.

Положение нейтральной линии для заданного сечения определено в примере №1

_{Наиболее удаленными точками согласно рис. 7 являются точка М (сжатая зона) и точка N (растянутая зона).}

_{Координаты опасных точек:}

т. М

т. N

_{Нормальные напряжения в опасных точках:}

• _{сжатая зона (т. М)}

• _{растянутая зона (т. N)}

_{Для построения эпюры σх , из опасных точек М и N проведем прямые, параллельные нейтральной линии. На перпендикуляре, восстановленном к нейтральной линии, построим эпюру σх (рис. 7)}

Пример №6

Короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке 8, сжимается силой F, приложенной в точке «К». Определить положение нейтральной лини.

Решение:

Оси - главные центральные, т.к. они являются осями симметрии;

Геометрические характеристики заданного поперечного сечения определяем по сортаменту прокатной стали.

Радиусы инерции

Координаты полюса (точки «К») относительно :

Рис.8.

Положение нейтральной линии (отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях):

Соединив прямой линией, концы отрезков получаем нейтральную линию, которая делит заданное сечение на 2 зоны. Зону сжатия с точкой «К» и зону растяжения.

Пример №7

Короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке 9, сжимается силой F, приложенной в точке «К₁». Определить положение нейтральной лини.

Рис.9.

Оси - главные центральные, т.к. они являются осями симметрии.

Геометрические характеристики заданного поперечного сечения:

Площадь -

Радиусы инерции -

Координаты полюса (точки «К₁») относительно

Положение нейтральной линии (отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях)

Рис.10.

_{Пример №8}

_{Короткий стержень составного сечения из 2}^х _{прокатных профилей (I №30) сжимается силой F = 320 кН, приложенной в точке «К». Вычислить нормальные напряжения в опасных точках, построить эпюру σх и проверить прочность (R=21кН/см}²_).

_{Все необходимое для расчета данные приведены в примере №7:}

_{А = 93 см}² _{– площадь;}

– координаты полюса (см);

– квадраты радиусов инерции (см²);

- величины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на координатных осях.

Рис. 11.

Координаты опасных точек:

т. М

т. N

Нормальные напряжения:

• _{сжатая зона}

• _{растянутая зона}

_{Проверяем прочность стержня:}

_{Прочность стержня обеспечена.}

_{Пример №9}

_{Короткий стержень (рис. 12) сжимается силой F = 1500 кН, приложенной в точке «К».}

_{Необходимо:}

_{а) определить положение нейтральной линии;}

_{б) построить эпюру напряжений;}

_{в) проверить прочность;}

_{г) при необходимости определить величину допускаемой нагрузки.}

_{Геометрические характеристики.}

_{Так как, заданное сечение имеет две оси симметрии, то оси zc, xc – главные нейтральные.}

_{Из сортамента определяем необходимые для данного расчета геометрические характеристики прокатного профиля (№33)}

_А=46,5см²_{; b=10,5см; zo=2,59см; Ix=7980см}⁴_{; Iy=410см}⁴_.

_{Осевой момент инерции составного сечения относительно оси zc:}

_где

- осевой момент инерции одного швеллера относительно главной оси z_с. (ось z_c совпадает с осью z₁)

- осевой момент инерции пластины относительно той же оси z_с.

где – площадь пластинки

a – расстояние между осями Z_c и Z₂ (см. рис. 15)

(осевой момент пластины относительно собственной центральной оси z₂), тогда

_{Осевой момент инерции всего составного сечения относительно оси zc:}

_{Анализ полученных значений указывает на то, что прямоугольные пластины увеличивают осевой момент инерции в 3,3 раза.}

_{Осевой момент инерции относительно оси yc:}

_где:

Рис. 12

(ось y_c совпадает с осью y₂)

(сортамент)

Тогда

_{Квадраты радиусов инерции:}

(общая площадь сечения)

_{Координаты полюса (точки К):}

_{Положение нейтральной линии:}

_{Координаты опасных точек}

т. М

т. N

_{Нормальные напряжения}

_{- сжатая зона}

_{- растянутая зона}

_{Проверка прочности:}

_{Прочность стержня не обеспечена.}

_{Так как, прочность стержня не обеспечена определим величину допустимой нагрузки:}

_{Пример №10}

_{Короткий стержень в точке «К» сжимается силой F=950кН. Необходимо:}

_{а) определить положение нейтральной линии;}

_{б) вычислить напряжения в опасных точках;}

_{г) проверить прочность сечения (R=21кН/см}²₎

_{д) определить величину допускаемой нагрузки Fдоп.}

_{Из сортамента прокатной стали выпишем необходимые геометрические параметры для заданных прокатных профилей.}

№ проф.		А(см2)	Z0(см)	b(см)	Ix(см4)	Iy(см4)
[№33		46,5	2,59	10,5	7980	410
I№33		53,8	-	14	9840	419
[	№33				410	7980
I	№33				419	9840
Рис. 13

_{Для определения положения главных центральных осей, вычисляем центр тяжести заданного составного сечения:}

_{а) сложное сечение разбиваем на составные части с заранее известными центрами тяжести (С1 и С2);}

_{б) через полученные центры тяжести проводим собственные центральные оси (z1y1 z2y2);}

_{в) по рисунку определяем расстояние между осями:}

(т. к. оси y₁ и y₂ находятся на одной линии, которая является осью симметрии);

_{г) выбираем базовую координатную систему (например z1y1);}

_{д) вычисляем координаты центра тяжести заданного сечения:}

_где

(см. табл. сортам.);

(т.к. точка С₁ находится на оси z₁),

(расстояние между точкой С₁ и осью z₁, см. рис. 17).

_{Вторая координата zc=0, т. к. центр тяжести сечения всегда находится на оси симметрии.}

_{Оси zс yс являются главными центральными осями, т. к. они проходят через центр тяжести, причем yс является осью симметрии.}

_{Осевые моменты инерции:}

_где

_{Радиусы инерции:}

_{Координаты полюса (т. К):}

_{Положение нейтральной линии:}

_{Отложив на осях zcyc полученные отрезки, находим положение нейтральной линии. В данном случае нейтральная линия проходит за пределами сечения. По этой причине во всех, без исключения, точках поперечного сечения будут возникать только сжимающие напряжения (зона растяжения отсутствует). Опасной точкой является точка М, как более удаленная от нейтральной линии.}

_{Координаты точки М}

_{Нормальные напряжения в точке М:}

_{Координаты точки N:}

_{Нормальные напряжения в точке М:}

_{Проверяем прочность сечения:}

_{Прочность стержня обеспечена.}

_{Так как, условие прочности обеспечено с достаточным запасом, определим до какой величины может быть увеличина действующая нагрузка Fдоп:}

Пример №11

Короткий стержень сжимается силой F, приложенной в точке (рис. 11). Определить:

а) положение нейтральной линии и координаты опасных точек;

б) величину допускаемой силы F и построить эпюру напряжений.

Координаты центра тяжести:

, т.к. ось – ось симметрии.

Рис.14.

Осевые моменты инерции:

Квадраты радиусов инерции:

Координаты полюса:

Рис.15.

Положение нейтральной линии:

Координаты наиболее удаленных точек:

а) по сжатой зоне (точка D)

б) по растянутой зоне (точка N)

Величина допускаемой нагрузки определяется из условия прочности (6):

• по сжатой зоне

• по растянутой зоне

За допускаемую нагрузку принимаем минимальное значение, т.е.

Нормальные напряжения в опасных точках:

Пример №12

Короткий стержень прямоугольного сечения (рис. 16) сжимается силой F, приложенной в точке «К».

Необходимо:

а) определить положение нейтральной линии и координаты опасных точек;

б) определить величину допускаемой нагрузки если

Координаты центра тяжести:

, т.к. ось – ось симметрии.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей:

Рис.16.

Квадраты радиусов инерции:

Координаты точки «К» (полюса):

Положение нейтральной линии:

Координаты наиболее удаленных точек:

а) по сжатой зоне (точка D)

б) по растянутой зоне (точка N)

Величина допускаемой нагрузки определяется из условия прочности:

• по сжатой зоне

• по растянутой зоне

За допускаемую нагрузку принимаем минимальное значение, т.е.

Нормальные напряжения в опасных точках:

Пример №13

Короткий стержень, сечение которого представлено на рис. 17. сжимается силой F=250кН, приложенной в точке «К».

Необходимо:

а) определить положение нейтральной линии и координаты опасных точек;

б) определить величину допускаемой нагрузки, если

_{Заданное сечение может быть представлено разностью двух квадратов: большого (первого) 60х60см и маленького (второго) 30х30см.}

Координаты центра тяжести:

Оси - главные центральные , т.к . ось - является осью симметрии.

Осевые и центробежный моменты инерции:

Рис. 17.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей:

Квадраты радиусов инерции:

Координаты точки «К» (полюса):

(полюс находится на оси )

Положение нейтральной линии:

_{Нормальные напряжения в опасных точках:}

• _{сжатая зона (т. N)}

• _{растянутая зона (т. M)}

_{Пример №14}

_{Короткий стержень выполненный из хрупкого материала (Rсж=4кН/см}² _{; Rрас=0,5кН/см}² _{) сжимается силой F=800кН, приложенной в точке «К».}

_{Проверить прочность стержня и при необходимости определить величину допускаемой нагрузки.}

_{Решение}

_{Координаты центра тяжести сечения:}

_{а) заданное сложное сечение разбиваем на 3 составные части (I,II,III) c заранее известными центрами тяжести (С1,С2,С3);}

_{б) через полученные центры тяжести проводим собственные центральные оси z1 y1; z2 y2; z3 y3;}

_{в) выбираем базовую координатную систему (например z1y1);}

_{г) относительно базовой координатной системы z1y1 по рисунку определяем координаты точек С1,С2,С3:}

_т.С1

_т.С2

_т.С3

_{д) вычисляем координату центра тяжести:}

_где

_{- сумма статических моментов составных частей сечения относительно базовой оси z1}

Рис. 18.

_{-сумма площадей составных частей сечения}

_{Т.к., ось yc является осью симметрии, то центр тяжести находится на данной оси, т.е. zc=0.}

_{Оси zcyc – главное центральные}

_{Осевые моменты инерции относительно zcyc}

_где

_где

_{Квадраты радиусов инерции:}

_{Координаты полюса (точки К):}

_{Положение нейтральной линии:}

_{Координаты опасных точек:}

т. М

т. N

_{Нормальные напряжения:}

_{- сжатая зона}

_{- растянутая зона}

_{Проверяем прочность:}

_{- по сжатой зоне}

_{Прочность сжатой зоны обеспечена}

_{- по растянутой зоне}

_{Прочность растянутой зоны, а значит и всего стержня в целом не обеспечена.}

_{Определим значение допустимой нагрузки, обеспечивающей прочность стержня на растянутой зоне:}

СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ

Расчетно-проектировочная работа по теме «Внецентренное сжатие коротких стержней» включает три задачи:

Задача №1. Для стержня прямоугольного поперечного сечения размерами b, h (рис.1 ) загруженного сжимающей силой F (табл. 1), приложенной в точке «К_i» с координатами z_F, y_F необходимо:

а) опеределить положение нейтральной линии;

б) построить ядро сечения;

в) построить эпюру нормальных напряжений;

г) проверить прочность стержня , ;

д) в случае если прочность не обеспечена, определить величину допускаемой нагрузки [F]

Данные взять из таблицы 1.

Рис. 1

Таблица 1

1е число шифра	F, кH	2е число шифра	Координаты полюса		3е число шифра	Размеры
			zF, см	yF, см		b, см	h, см
1	1800	1	3	7	1	30	40
2	2000	2	-3	-7	2	34	43
3	2400	3	4	5	3	32	50
4	2800	4	-4	-4	4	28	45
5	3000	5	-5	6	5	29	47
6	2600	6	5	-5	6	24	52
7	3200	7	4	-4	7	26	54
8	2200	8	-4	5	8	27	53
9	3400	9	-6	-6	9	33	46
0	3800	0	6	8	0	25	48

Задача №2. Короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке 2, сжимается силой F приложенной в точке «К» с координатами z_F, y_F (см. в таблицу 2):