4.8 Крайова задача зі стаціонарною неоднорідністю

Розглянемо метод розв’язку наступної задачі

, (4.93)

, (4.94)

. (4.95)

Розв’язок шукаємо у вигляді суми функцій

, (4.96)

де – стаціонарний стан (статичний прогин струни) визначається із умови

(4.97)

Це крайова задача для звичайного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Її розв’язок має вигляд

. (4.98)

Якщо , то

. (4.99)

Функція задовольняє однорідному рівнянню

(4.100)

з однорідними умовами

(4.101)

та початковими умовами

(4.102)

Як бачимо, функція є розв’язком задачі (4.31) – (4.33).

Контрольні питання

1. Який вигляд має канонічне рівняння гіперболічного типу?

2. Який вигляд має одно-, дво-, тривимірне рівняння коливань струни?

3. Які умови ставлять для знаходження однозначного розв’язку рівняння коливань струни?

4. Якими методами розв’язуються рівняння коливань струни?

5. За яких умов можна застосовувати для розв’язку рівняння коливань струни метод Д’Аламбера?

6. У яких випадках застосовується метод поділу змінних Фур’є?

7. Що таке редукція розв’язку задачі для рівняння коливань струни?

8. Як розв’язується однорідна крайова задача для рівняння коливань струни?

9. Як розв’язується неоднорідна крайова задача для рівняння коливань струни?

10. Який вигляд має задача Штурма – Ліувілля ?

11. Розв’язати наступні крайові задачі для рівняння коливань струни

:

11.1 ,

11.2 ,

11.3 .

12. Розв’язати наступні крайові задачі для рівняння коливань струни

:

12.1 ,

12.2 , ,

12.3 , .

93