Лабораторная работа № 2 Вычисление высших вертикальных производных силы тяжести по значениям Wz.

1. Цель работы.

Высшие вертикальные производные силы тяжести обладают большой разрешающей способностью по сравнению с исходными данными для аномалий, вызванных относительно неглубоко залегающими возмущающими телами. Весьма существенное значение они приобретают при интерпретации гравитационных аномалий, поскольку в ряде случаев позволяют существенно упростить задачу определения параметров тела. Кроме того, вычисление вертикальных производных высокого порядка, широко применяются для разделения локальных и региональных аномалий (рис. 3).

Рис. 3. Пример разрешающей способности различных вертикальных производных силы тяжести

• к ривые W_Z, W^/_Z, W^//_Z, W^///_Z от двух горизонтальных цилиндров, расположенных друг от друга на расстоянии 1 км.

Умение вычислить вертикальные производные по картам гравитационного поля приобретает большое значение.

Целью данной лабораторной работы является ознакомление со способами вычисления высших вертикальных производных силы тяжести, с методикой построения палеток и приобретение навыков в вычислении трансформированных значений исходной информации.

II Теоретические основы

В практике гравиразведочных работ широкое применение находят способы вычисления вертикального градиента силы тяжести и вторых вертикальных производных силы тяжести .

Вычисление вертикального градиента силы тяжести .

Поле вертикальных градиентов часто получают пересчётом карты гравитационных аномалий. Для этого перерасчёта используется соотношение, дающее значение потенциала W во внешнем полупространстве по значениям его первой вертикальной производной по бесконечной плоскости (внешняя задача Неймана для плоскости)

где W_Z = g; Z – высота точки, в которой вычисляется потенциал над плоскостью Z=0; R – расстояние на плоскости от начала координат.

Для того, чтобы получить вторую вертикальную производную, надо выражение W дважды продифференцировать по высоте Z.

(1)

Прежде чем выполнить второе дифференцирование, преобразуем выражение (1). Заметим, что

есть среднее значение силы тяжести на круге радиуса R. Тогда

(2)

Среднее значение силы тяжести g_СР можно заменить разностью средней аномалии по кругу радиуса R и аномалии в центре u+…

, (3)

где .

Соотношение (3) легко получается из выражения для _g , если в нём написать аномалии в виде разности g- ,

,

где

Вводя значение средней силы тяжести (3) и (2) получим

Можно убедиться, что

,

поэтому после второго дифференцирования по Z получим

Этот интеграл разобьём на два:

В области 0-R₀ будем считать , тогда

Если вести пересчёт аномалий во вторые производные на плоскости, соответствующей поверхности Земли, т.е. для Z=0

то

При достаточно малом Р₀ средняя аномалия по кругу радиуса R₀ равна аномалии в центре этого круга , а

(4)

Для вычисления численного интегрирования интеграл (4) представим в виде суммы

(5)

Выражение (5) служит рабочей формулой для пересчёта аномалий поля силы тяжести в поле его вертикального градиента.

Вычисление второй вертикальной производной силы тяжести .

Определение второй вертикальной производной W_ZZZ силы тяжести по её распределению на плоскости может быть осуществлено различными путями и, в частности, путём численного дифференцирования уравнения Лапласа (в прямоугольных координатах) методом конечных разностей

(6)

или представлением W_Z = g степенным (или каким-либо другим) полиномом и составлением системы алгебраических уравнений на основе метода наименьших квадратов (цилиндрическая система координат)

,

где - среднее значение W_Z на окружности радиуса R, которое может быть представлено степенным полиномом чётной степени

Ограничиваясь двумя членами, из условия

Найдём соответствующую формулу для a₂. При этом

Сущность способа численного дифференцирования методом конечных разностей заключается в следующем.

Пусть функция W_Z(x) задана на некотором отрезке через равные интервалы так, чтобы значения её аргумента (х) располагались в центре интервалов

… x-3R; x-2R; x-R; x; x+R; x+2R; x+3R…

Разности предыдущего и последующего значений функции W_Z(x) называются первыми разностями , разности последующих и предыдущих первых разностей называются вторыми разностями и т.д. (таблица 1).

Конечные разности

Таблица 1

Аргу-мент	Фукция	Р а з н о с т и
x-3R x-2R x-R x x+R x+2R x+3R	WZ(x-3R) WZ(x-2R) WZ(x-R) WZ(x) WZ(x+R) WZ(x+2R) WZ(x+3R)

Порядок разности обозначается индексом при ∆, аргументом разности является полусумма аргументов функции, из которых составлена разность.

Конечные разности можно выразить через значения функции

;

;

; (7)

;

;

и т.д.

Будем считать, что среднее арифметическое разностей нечётного порядка, расположенных симметрично относительно середины интервала, равно их значению, приведённому к середине интервала, т.е.

;

функция W_Z(x_k) может быть представлена через конечные разности интерполяционной формулой Стирлинга:

(8)

Собирая в формуле (8) члены с одинаковыми степенями и сравнивая полученные выражения с разложением функции W_Z(x_K) в ряд Тейлора по степеням КR, получаем

отсюда следует:

;

;

С учётом разностей третьего порядка, положив x=0, получим

(9)

Если разности третьего порядка не учитывать, то

(10)

Для второй производной с учётом разности второго и четвёртого порядка имеем

;

; (11)

Аналогичные формулы можно получить также для второй производной по оси у.

Выражения (9), (10), (11) являются исходными для вывода целого ряда формул, позволяющих определить вторую вертикальную производную гармонической функции по её распределению на плоскости. С учётом этих выражений уравнение (6) в простейшем случае можно представить следующим образом

, (12)

где (R) – среднее значение силы тяжести на окружности радиусом R, определённое по четырём точкам (Рис. 4).

Рис.4. Схема расположения точек

при выполнении W_ZZZ.

Располагая точки в углах квадрата АВСD, описанного около окружности радиусом R, получим формулу М.У. Сагитова:

(13)

Ограничиваясь в уравнениях (11) разностями четвёртого порядка, из формулы (6) находим

(14)

Вводя среднее значение функции на окружностях радиусами R и 2R, получим формулу А.К. Маловичко:

(15)

Поскольку формулы (12-15) определяют вторую вертикальную производную силы тяжести, то очевидно, что любая их линейная комбинация также определяет эту производную. Общий вид таких формул следующий

, (16)

где

В практике гравиразведочных работ применяется целый ряд формул для вычисления второй вертикальной производной силы тяжести или третьей производной потенциала силы тяжести. Некоторые из них приведены в таблице 2.

Формулы для вычисления

Таблица 2

№ п/п	Автор	Ф о р м у л а
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.	Л.В. Канторович В. Милн, В.И. Крылов Д.Ю.Панов Л.И.Жоголев Р.Гендерсов(2)И.Зитц -«- (3) Элкинс (2) -«- (3) Петерс Розенбах Пауль	; ; ; ; ; ;

Точность определения второй вертикальной производной силы тяжести по формулам, приведённым в таблице 2, и по другим подобным, зависит от приближённости самой формулы и от погрешности исходных данных.

Влияние погрешности исходных данных ориентировочно можно оценить по формуле

; (17)

где и ЕW_Z(R) – средние квадратические ошибки определения и W_ZZZi, А – коэффициент формулы (16).

Оценить погрешность, возникающую из-за приближённости формул, трудно, поскольку эта погрешность зависит от того, насколько величина шага R соответствует характеру исходного поля. В общем случае точность вычислений возрастает при уменьшении R. Однако с уменьшением R растёт влияние погрешностей исходных данных. Поэтому при вычислении вторая вертикальной производной силы тяжести надо стремиться подобрать оптимальный размер шага R, при котором приближённость формулы достаточно точная, а влияние погрешности исходных данных не очень велико. При этих условиях суммарная погрешность вычисленных значений будет минимальной. Следует отметить, что при соответствующем подборе R вычисления по любой из вышеприведённых формул дают близкие результаты.

Чрезмерное увеличение шага R резко уменьшает погрешности исходных данных, но одновременно увеличивает погрешности из-за приближённости формул, и в конечном итоге вычисленное значение будет не реальной второй производной силы тяжести, а некоторой величиной, похожей на неё.

Порядок выполнения работы.

1. Изучение теоретических основ вычисления вертикального градиента силы тяжести по известному распределению поля на плоскости наблюдения.

2. Построение палетки для вычисления вертикального градианта силы тяжест .

Для пересчёта аномалии в значения вертикального градиента силы тяжести строится круговая полетка. При построении этой палетки полагаем в формуле (5)

В качестве радиусов палетки Ri можно, например, принять значения, приведённые в таблице 3. Палетка ограничивается радиусом 15-20км.

Общий вид палетки представлен на рисунке 5.

Параметры для построения палетки при вычислении .

Таблица 3

Ri, км	Сi	Ri, км	Сi	Ri, км	Сi	Ri, км	Сi
0,1 0,4 0,8	7,500 7,500 1,250	1,4 2,2 3,4	0,54 0,260 0,160	4,8 6,6 8,6	0,081 0,086 0,034	11,6 15,6	0,029 0,021

Рис. 5. Круговая палетка с заданными коэффициентами

и радиусами для вычисления (по К.Е. Веселову)

3.Вычисление вертикального градиента силы тяжести по заданному на плоскости распределению поля вдоль профиля в десяти расчётных точках Р_к (к = 1,2,…,10).

Палетка накладывается на карту . Центр палетки совмещается с точкой Р_к, для которой вычисляется вертикальная производная силы тяжести . Для каждого кольца палетки определяется среднее значение аномалии силы тяжести _СР (R). Из него вычитается значение аномалии в центре ₀. Далее образованная разность (R)- ₀ умножается на соответствующее значение Сi. После этого производится суммирование по всем радиусам палетки по формуле:

Результаты вычислений представляются в виде таблице 4.

Ведомость вычислений .

Таблица 4

	Рк	1				2				3
№№ колец	С	=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	7,500 7,500 1,250 0,585 0,260 0,160 0,094 0,053 0,034 0,029 0,021
					=

4. Построение кривой (Рк) по расчётным точкам вдоль профиля.

5. Изучение теоретических основ вычисления второй вертикальной производной силы тяжести по известному распределению поля на плоскости наблюдения.

6. Вычисление второй вертикальной производной силы тяжести по значениям заданным в узлах квадратной сети.

На миллиметровой бумаге в масштабе 1см = 0,5км наносят 3, 5 или 7 параллельных профилей, расстояние между которыми равно 0,5км с пунктами наблюдения на них тоже через 0,5км.

Около каждой точки из прилагаемой таблицы 5 по указанию преподавателя выписываются значения .

Используя схему расположения точек при вычислении (рис.2) в качестве шаблона (палетки) вычисляется значения второй вертикальной производной силы тяжести для среднего профиля по 10 точкам по формуле, указанной преподавателем из таблицы 2.

Результаты вычисления (Рк) представляются в виде таблицы 6