Лабораторная работа № 2 Решение обратной задачи для однородного шара

Цель работы: ознакомиться с решением обратной задачи для однородного шара с использованием методов характерных точек.

Теоретические сведения

При количественной интерпретации аномалий силы тяжести часто делается предположение, что геологические тела, вызывающие их, имеют правильную геометрическую форму, близкую, например, к сфере, цилиндру, вертикальному и наклонному пластам и т.д.

Модель шара используется во многих ориентировочных расчетах. В первом приближении шару соответствуют залежи штокообразной и гнездообразной формы, соляные купола, карстовые полости и другие тела изометрической формы, размеры которых приблизительно одинаковы во всех направлениях.

Расположим прямоугольную систему координат x, y, z так, чтобы ее начало находилось в центре тяжести измерительного прибора, ось z была направлена вертикально вниз и проходила через центр шара, а оси x и y были расположены в горизонтальной плоскости, принимаемой за земную поверхность (рис. 4).

Если центр однородного шара с радиусом r лежит на глубине h_c , а избыточная масса равна M , распределение вертикальной составляющей аномалии силы тяжести ∆g, градиентов силы тяжести V_xz и V_zz и разности кривизны уровенной поверхности V_∆ по оси x определяется из следующих формул:

; (2)

; (3)

; (4)

; (5)

, (6)

Где f – коэффициент пропорциональности, получивший название гравитационной постоянной, является размерной величиной; численное ее значение зависит от принятой системы единиц. Например, в системе СИ – метр, килограмм, секунда:

f =6,67·10^-11 м³кг^-1·сек^-2,

а в системе СГС – сантиметр, грамм, секунда:

f =6,67·10^-8 см³г^-1·сек^-2,

M – избыточная масса шара, равная произведению объема шара на его избыточную плотность

x – координата точки, для которой определяется функция.

Рис. 4. Кривые гравитационных аномалий над шаром и схема обозначений

Выведем некоторые характерные зависимости

1. Определим абсциссу полумаксимума x_1/2, в которой ∆g=1/2∆g_max. Кривая аномалии силы тяжести имеет максимальное значение при x=0, т.е. максимум кривой расположен над центром шара.

(7)

Значение ∆g, соответствующее ∆g=1/2∆g_max, равно

(8)

Приравняв формулы (12) и (18), найдем x_1/2

,

Откуда после сокращения и преобразований

, (9)

2. Определим абсциссу максимального и минимального значений (±x_m) кривой V_xz.

Для этого производную V_xz по x приравняем к нулю

,

,

откуда

. (10)

Определение глубины залегания центра шара h_с и

его избыточной массы M.

1. Глубина залегания центра шара h_с и избыточная масса М определяются из формул (7) и (8).

,

,

где f – гравитационная постоянная,

x_1/2 – абсцисса, соответствующая .

Если известна избыточная плотность ∆σ= σ ₂- σ ₁, то объем шара

;

радиус шара

и глубина до ближайшей поверхности шара

.

2. По кривой V_xz глубина залегания центра шара h_с из формулы (11)

,

где 2x_m – расстояние между экстремальными значениями кривой V_xz.

Значения M, V, r и h_с, как и по кривой ∆g, определяются только в том случае, если известна избыточная плотность ∆σ.

Порядок выполнения работы.

1. Ознакомиться с рассмотренными выше способами интерпретации гравитационных аномалий для тел шарообразной формы.

2. Решить обратную задачу для шара по кривым ∆g и V_xz:

а) вычертить кривые ∆g и V_xz в масштабах, указанных в полученном задании.

б) снять необходимые характеристики с кривых ∆g и V_xz и по приведенным формулам вычислить параметры залегания шара.

в) полученные данные записать в таблицу 3.

Таблица 3

Параметры залегания шара

По кривой						По кривой
Значение ∆gmax(мГал)				r	h

Таблица 4

Исходные данные для решения обратной задачи для шара

	Вариант 1		Вариант 2		Вариант 3		Вариант 4		Вариант 5		Вариант 6		Вариант 7		Вариант 8		Вариант 9		вариант 10
	∆σ =0,15 г/см3		∆σ =0,1 г/см3		∆σ =0,20 г/см3		∆σ =0,22 г/см3		∆σ =0,25 г/см3		∆σ =0,3 г/см3		∆σ =0,35г/см3		∆σ =0,40 г/см3		∆σ=0,3г/см3		∆σ=0,25г/см3
x	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ	∆g	VXZ
-10	1,3	1,5	0,3	0,5	0,3	0,8	0,4	0,7	1,1	1,3	0,5	0,8	0,3	1,0	0,4	0,9	0,7	1,2	0,3	1,5
-9	1,4	1,8	0,4	0,8	0,4	1,0	0,5	1,0	1,2	1,6	0,6	1,1	0,4	1,1	0,5	1,0	0,8	1,4	0,4	1,8
-8	1,5	2,0	0,5	1,0	0,45	1,3	0,6	1,2	1,3	1,8	0,7	1,3	0,5	1,5	0,6	1,4	0,9	1,8	0,45	2,0
-7	1,7	2,3	0,7	1,3	0,5	1,65	0,8	1,5	1,5	2,1	0,9	1,6	0,8	2,0	0,9	1,9	1,1	2,0	0,5	2,3
-6	1,8	2,8	0,8	1,8	0,6	2,0	0,9	2,0	1,6	2,6	1,0	2,1	1,0	2,5	1,1	2,4	1,2	2,9	0,6	2,8
-5	2,0	3,5	1,0	2,5	0,8	3,0	1,1	2,7	1,8	3,3	1,2	2,9	1,4	3,0	1,5	2,9	1,4	3,6	0,8	3,5
-4	2,5	4,5	1,5	3,5	1,0	4,0	1,6	3,7	2,3	4,3	1,7	3,9	2,0	4,0	2,1	3,9	1,9	4,3	1,0	4,5
-3	3,0	5,7	2,0	4,7	1,5	5,0	2,1	4,9	2,8	5,5	2,2	5,2	3,0	5,0	3,1	4,9	2,4	5,0	1,5	5,7
-2	4,0	6,5	3,0	5,5	2,0	4,0	3,1	5,7	3,8	6,3	3,5	5,9	4,0	5,5	4,1	5,4	3,4	4,5	2,0	6,5
-1	5,5	4,0	4,5	3,0	3,0	2,0	4,6	3,2	5,3	3,8	5,0	3,0	4,8	4,0	4,9	3,9	4,9	2,0	3,0	4,0
0	6,0	0	5,0	0	4,0	0	5,1	0	5,8	0	5,5	0	5,0	0	5,1	0	5,4	0	4,0	0
1	5,5	-4,0	4,5	-3,0	3,0	-2,0	4,6	-3,2	5,3	-3,8	5,0	-3,0	4,8	-4,0	4,9	-3,9	4,9	-2,0	3,0	-4,0
2	4,0	-6,5	3,0	-5,5	2,0	-4,0	3,1	-5,7	3,8	-6,3	3,5	-5,9	4,0	-5,5	4,1	-5,4	3,4	-4,5	2,0	-6,5
3	3,0	-5,7	2,0	-4,7	1,5	-5,0	2,1	-4,9	2,8	-5,5	2,2	-5,2	3,0	-5,0	3,1	-4,9	2,4	-5,0	1,5	-5,7
4	2,5	-4,5	1,5	-3,5	1,0	-4,0	1,6	-3,7	2,3	-4,3	1,7	-3,9	2,0	-4,0	2,1	-3,9	1,9	-4,3	1,0	-4,5
5	2,0	-3,5	1,0	-2,5	0,8	-3,0	1,1	-2,7	1,8	-3,3	1,2	-2,9	1,4	-3,0	1,5	-2,9	1,4	-3,6	0,8	-3,5
6	1,8	-2,8	0,8	-1,8	0,6	-2,0	0,9	-2,0	1,6	-2,6	1,0	-2,1	1,0	-2,5	1,1	-2,4	1,2	-2,9	0,6	-2,8
7	1,7	-2,3	0,7	-1,3	0,5	-1,65	0,8	-1,5	1,5	-2,1	0,9	-1,6	0,8	-2,0	0,9	-1,9	1,1	-2,0	0,5	-2,3
8	1,5	-2,0	0,5	-1,0	0,45	-1,3	0,6	-1,2	1,3	-1,8	0,7	-1,3	0,5	-1,5	0,6	-1,4	0,9	-1,8	0,45	-2,0
9	1,4	-1,8	0,4	-0,8	0,4	-1,0	0,5	-1,0	1,2	-1,6	0,6	-1,1	0,4	-1,1	0,5	-1,0	0,8	-1,4	0,4	-1,8
10	1,3	-1,5	0,3	-0,5	0,3	-0,8	0,4	-0,7	1,1	-1,3	0,5	-0,8	0,3	-1,0	0,4	-0,9	0,7	-1,2	0,3	-1,5