Тема: Случайные величины непрерывного типа

1. Случайная величина Х задана плотностью . Найти: а) коэффициент С; б) M[X]; в) D[X]; г) функцию распределения СВ Х; д) вероятность того, что наблюденное значение Х будет из интервала (-4,5;2).

2. Найти: а) коэффициент С; б) M[X]; в) D[X]; г) функцию распределения СВ Х; д) вероятность того, что наблюденное значение Х будет больше МХ.

3. Случайная величина Х задана плотностью распределения . Найти: а) коэффициент С; б) M[X]; в) D[X]; г) функцию распределения СВ Х; д) вероятность того, что наблюденное значение Х будет меньше МХ.

4. Найти: D[X] и Р(-1<X<1)., если случайная величина Х задана функцией распределения .

5. Случайная величина Х задана функцией распределения . Найти Р(Х<M[X]), медиану и квантиль порядка 0,3.

6. Случайная величина Х имеет плотность распределения . Найти b, M[X], D[X], квантиль порядка 0,7, моду медиану, начальный и центральный моменты третьего порядка.

7. Время ожидания Х (в минутах) пассажиром автобуса описывается законом распределения, задаваемым плотностью распределения Найти: а) среднее время ожидания автобуса, б) вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не более 5 минут.

8. Продолжительность работы Х (в годах) телевизора без ремонта имеет распределение, задаваемое плотностью Найти среднее время работы без ремонта телевизора и вероятность того, что телевизор проработает без ремонта от пяти до восьми лет.

Нормальное распределение

9. Найдите стандартную нормально распределенную случайную величину, отсекающую площадь 0,575 (слева). Ответ: 0,19.

10. Для стандартной нормальной величины найти Z такое, чтобы Р(Z>z)=0.28. Ответ: 0,585.

11. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4? Ответ: 0,0164.

12. Если , то найдите такое значение х, при котором Р(Х<х)=0,56. Ответ: 126,6.

13. Для нормально распределенной случайной величины Х с М(Х)=19500 и =400 найдите такую точку в распределении, что Р(Х<х)=0,02. Ответ: 20,32.

14. Для найдите два значения х₁ и х₂, симметричные относительно математического ожидания с Р(х₁<Х<х₂)=0.99. Ответ: 13,94 и 50,06.

15. Пусть Х - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а=97 и стандартным отклонением =10. Найдите х такое, что Р(120<X<x)=0,5. Ответ: 103,5.

16. Пьер работает в пункте по обмену валюты в офисе аэропорта Орли в Париже. Его пункт открыт ночью, когда банк аэропорта закрыт, и он делает в основном свой бизнес на туристах, возвращающихся в Америку, которые хотят обменять франки в доллары. Из опыта Пьер знает, что потребность в долларах в любую ночь в течение сезона приблизительно подчиняется нормальному закону распределения со средней $ 25000 и средним квадратическим отклонением, равным $5000. Если Пьер сохраняет много наличности, то он должен платить штраф (процент на наличность). Если денег не хватает, то он должен посылать человека в круглосуточно работающее отделение банка за получением наличности, а это тоже стоит денег. Пьер хотел бы иметь в течение ночи такую сумму денег, чтобы с уверенностью 85% покрывать требующуюся на ночь сумму валюты. Помогите Пьеру определить требуемую сумму долларов. Ответ: 30185 долл.

17. Доля протеина в пакете с сухим кормом для собак - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2% и стандартным отклонением 0,6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого корма доля протеина составляла не менее х_1,%, но не более х_2,%. Найти х₁ и х_2. Ответ: 9,655 и 12,745.

18. Пусть Х - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а=410 и средним квадратичным отклонением =2. Найдите вероятность того, что Х примет значение между 407 и 415. Ответ: 0,927.

19. Для нормально распределенной случайной величины с а=-44 и =16 найдите вероятность того, что значение случайной величины будет положительно. Ответ: 0,003.

20. Пусть Х- нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а=16 и со средним квадратическим отклонением =3. Найдите: а) Р(11<X<20); Б) Р(17<X<49); c) Сумма вероятностей Р(17<X<19) и P(X>15). Ответ: 0,8608; 0,3707; 0,84134.

21. Ежедневный выпуск продукции на заводе распределен приблизительно по нормальному закону со средним значением а=134786 ед. продукции в неделю и =13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед; б) окажется ниже 100000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюзы в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюзы утверждают, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (3). Доверяете ли Вы профсоюзам? Ответ: а) 0,121; б) 0,0037.

22. Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае,- нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайно выбранного грейпфрута. Ответ: 0,423.

23. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов - есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратичным отклонением =560 и независимым математическим ожиданием а. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц. Ответ: 13158,6.

24. Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера,- нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейнеров имеют чистую массу больше 4,9т и 25%- имеет массу меньшую, чем 4,2т. найдите среднюю и среднее квадратичное отклонение чистой массы контейнера. Ответ: 5,83 и 2,41.

25. Предположим, что в течение года цены на акции некоторой компании подчинялись нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 48 усл.ден.ед., и стандартным отклонением, равным 6. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обслуживаемого периода цена за акцию была более 60 усл.ден.ед.? Ниже 60 ед. за акцию? Выше 40 ед. за акцию? Между 40 и 50 ед. за акцию? Ответ: 0,02275; 0,9772; 0,90824; 0,5375.

26. Измеряемая случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения N(10,5). Указать чему равны M[X], D[X], записать плотность распределения Х. Найти симметричный относительно M[X] интервал, в который с вероятностью р попадает измеренное значение. Рассмотреть следующие числовые значения: а) р=0,9974; б) р=0,5.

27. Деталь изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением σ. Считая, что для данной технологии σ=5 и Х нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.

28. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m=5,σ=4. Найти плотность распределения случайной величины . Найти M[X].

29. Случайная величина Х распределена по N(m,σ²). Вычислить вероятности и , где х₁, х₂- точки перегиба кривой плотности распределения вероятности.

30. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,6 попадает случайная величина Х, имеющая нормальное распределение с параметрами m=2 и σ=10.Как изменяется этот интервал, если дисперсия увеличится вдвое?

31. Размер мужских сорочек является нормально распределенной случайной величиной со средним значением 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40-го размера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5;40,5). Написать выражение для плотности распределения этой случайной величины и нарисовать график плотности распределения.

32. Урожайность зерновых подсобного хозяйства “Хочу кушать” распределена по нормальному закону со средним значением 50 ц/га и дисперсией 25(ц/га)². Найти вероятность, что урожайность превысит 60 ц/га и фермер перестанет быть голодным. Написать выражение для плотности распределения этой случайной величины и нарисовать график плотности распределения.

33. Предположим, что индекс развития группы промышленных предприятий “Светлый путь капитализма” распределен по нормальному закону со средним значением 38 и средним квадратическим отклонением 13. Найти вероятность того, что индекс развития группы промышленных предприятий “Темный путь социализма” будет превышать средний на 5. Написать выражение для плотности распределения этой случайной величины и нарисовать график плотности распределения.

34. Пусть месячный душевой доход в России распределен по нормальному закону со средним значением 1000 руб. и дисперсией 10000 руб². Какова вероятность того, что душевой доход превысит 1200 руб. Написать выражение для плотности распределения этой случайной величины и нарисовать график плотности распределения.

35. Известно, что вес человека распределен по нормальному закону. Некоторая категория людей имеет средний вес 60 кг и среднее квадратичное отклонение веса 3 кг. Определить вероятность того, что вес случайно взятого человека превысит средний вес на 10 кг. Написать выражение для плотности распределения этой случайной величины и нарисовать график плотности распределения.

36. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785т и стандартным отклонением 60т. Найдите вероятность того, что по крайней мере 800т будут добыты в заданный день. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850т угля? Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля упадет ниже 665т. Ответ: 0,4013; 0,58; 0,023.