4.4. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 4.1. Составить математические модели для следующих задач.
1) Компания добывает из двух типов руды минералы A, B. Количество минералов, извлекаемых из руды каждого типа, а также стоимость тонны каждого сырья приведены в таблице 4.1. Необходимо произвести по крайней мере 3 тонны минерала A и 2 тонны минерала B. Сколько тонн руды каждого типа надо закупить, чтобы выполнить задачу с минимальными затратами на покупку?
|
Руда типа I |
Руда типа II |
Таблица 4.1 |
Минерал A |
100 кг |
200 кг |
|
Минерал B |
150 кг |
50 кг |
|
Цена 1 тонны |
50 у.е. |
60 у.е. |
|
2) При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен содержать не менее 1 кг белка, не более 100 г кальция и ровно 80 г фосфора. Данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и о себестоимости продуктов приведены в таблице 4.2. Определить рацион кормления с минимальной себестоимостью.
|
Сено |
Силос |
Таблица 4.2 |
Белки, г/кг |
40 |
10 |
|
Кальций, г/кг |
1,25 |
2,5 |
|
Фосфор, г/кг |
2 |
1 |
|
Себестоим., руб/кг |
1,2 |
0,8 |
|
3) Для производства «любительской» и «ливерной» колбас закуплены мясо, сало, ливер. Данные о запасах сырья, компонентах, необходимых для производства 10 кг колбасы каждого вида, прибыли от продажи приведены в таблице 4.3. Определить план выпуска колбас, приносящий максимальную прибыль.
Таблица 4.3.
Сырье |
Запас |
Любительская |
Ливерная |
Мясо, кг |
360 |
6 |
1 |
Сало, кг |
300 |
3 |
2 |
Ливер, кг |
100 |
1 |
7 |
Прибыль, руб. за 10кг |
|
120 |
70 |
Упражнение 4.2. Решить графически задачи линейного программирования:
1)
;
2)
;
3)
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
,
.
ОТВЕТЫ
§ 1
Упражнение 1.1.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
функция не определена;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Упражнение 1. 2.
1) нечетная; 2) нечетная; 3) четная; 4) четная; 5) функция общего вида; 6) функция общего вида; 7) функция общего вида; 8) четная; 9) нечетная; 10) функция общего вида; 11) нечетная;12) четная.
§ 2
Упражнение 2.1.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
.
Упражнение 2.2.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Упражнение 2.3.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Упражнение 2.4.
1)
,
.
2)
,
.
3)
,
.
4)
,
.
5)
,
.
6)
,
.
7)
,
.
8)
,
.
Упражнение 2.5.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Упражнение 2.6.
1)
,
,
;
2)
,
,
;
3)
,
,
;
4)
,
,
;
5)
,
,
.
§ 3
Упражнение 3.1.
1)
;
2)
,
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
,
;
7)
,
;
Упражнение 3.2.
1
а)
;
1
b)
;
1
с)
;
1
d)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6
a)
;
6
b)
;
7)
;
8)
;
Упражнение 3.3.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
Упражнение 3.4.
1)
;
2)
;
3)
Упражнение 3.5.
1) Максимальная прибыль 910 у.е. при объеме производства 13 тыс.штук;
2) 2700 м2 (длина стороны, параллельной стене, 90 м, длина перепендикулярной стороны 30 м);
3) длины сторон участка 17 и 9 м.
§ 4
Упражнение 4.1.
1) Пусть x –количество тонн руды I типа, y – количество тонн руды II типа. Задача линейного программирования имеет вид
или
;
2)
Пусть x
–количество сена (в кг), y
– количество силоса (в кг). Тогда целевая
функция имеет вид
,
а система ограничений –
.
3)
Пусть x
–количество «любительской» колбасы
(в десятках кг), y
– количество «ливерной» колбасы (в
десятках кг). Тогда
,
.
Упражнение 4.2.
1)
;
2) область допустимых решений пуста
3)
;
4) область допустимых решений пуста
5)
;
6)
;
не существует (область допустимых
решений неограниченная)
7)
;
не существует (область допустимых
решений неограниченная)
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
