§ 2. Дифференцирование функций

2.1. Функции одного переменного. Основными понятиями дифференциального исчисления являются производная функции и дифференциал функции. При этом функции, имеющие конечные производные, называются дифференцируемыми. Для таких функций можно доказать ряд теорем, из которых следуют правила нахождения производных для алгебраической суммы, произведения и частного дифференцируемых функций:

; (2.1)

; (2.2)

; (2.3)

. (2.4)

Равенство (2.3) основано на том, что производная постоянной функции (константы) равна нулю; оно означает, что при дифференцировании константа выносится за знак производной.

В Таблице 2.1 формулы для производных элементарных функций приводятся как для случая независимого аргумента (левый столбец), так и для сложной функции (правый столбец).

Таблица 2.1

Таблица основных производных

1) , 2) 3) 4) 5) 6) , 7) 8) , 9) 10) 11) 12) 13)

1) 2) 3) 4) 5) 6) , 7) 8) , 9) 10) 11) 12) 13)

Чтобы найти производную функции в точке , необходимо сначала найти , а затем в полученное выражение подставить заданное значение .

Пример 2.1. Найти производную функции в произвольной точке и при x=1.

Решение. Применим формулы (2.4), (2.1) и (дважды) формулу производной степенной функции:

Итак, Чтобы выполнить второе задание, подставим вместо x числовое значение 1: .

Дифференциал функции , играющий важную роль в исследовании функций (а также позволяющий при необходимости находить приближенное значение функции), можно найти по формулам:

, (2.5)

(для произвольной точки из области определения) и

(2.6)

(для фиксированной точки x=a).

Пример 2.2. Найти дифференциал функции .

Решение. Сначала воспользуемся формулой (2.2) и табличной производной косинуса для сложной функции:

С учетом формулы (2.5) получаем:

Пример 2.3. Найти в точке производную функции и дифференциал функции в этой точке.

Решение. Предварительно «подготовим» функцию к дифференцированию: . Теперь воспользуемся формулами производных для степенной функции и функции (из таблицы), а также формулами (2.1), (2.3):

Подставляем значение : .

Для определения дифференциала функции воспользуемся формулой (2.6):

Ответ: ;

При определенных условиях определены производные и дифференциалы старших порядков, в частности, второго порядка, при этом:

(2.7.)

, (2.8)

(2.9)

Пример 2.4. Для функции найти производную второго порядка ( ) и дифференциал второго порядка в точке x=2.

Решение. Сначала найдем первую производную:

Далее воспользуемся (2.7):

Подставляем значение x=2:

Наконец, используем (2.9):

2.2. Дифференцирование функций двух переменных. При дифференцировании функции по одной из независимых переменных (x или y) вторая фиксируется и считается константой. Применяются уже знакомые правила (2.1)-(2.4) и формулы из таблицы производных, однако при записи обязательно указывается, по какой переменной происходит дифференцирование. Так, для частной производной первого порядка по x используются обозначения или . Аналогично запись обозначает частную производную первого порядка по y.

Для полного дифференциала функции в произвольной точке и в фиксированной точке M(a;b) справедливы формулы:

(2.10)

(2.11)

Как и для функции одного переменного, можно находить частные производные старших порядков. Например, для частных производных второго порядка справедливы правила

; (2.12)

Полный дифференциал второго порядка (в произвольной или фиксированной точке) находится по формулам

(2.13)

(2.14)

Заметим, что если исходная функция удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам, то справедливо равенство . В этом случае говорят, что «смешанные производные второго порядка» совпадают, или что «порядок дифференцирования не играет роли».

Пример 2.5. Найти частные производные (по x и по y) первого порядка функции , выписать полный дифференциал этой функции.

Решение. Чтобы найти , необходимо зафиксировать переменную y. Тогда получаем степенную функцию от x (y - показатель степени), а потому . Фиксируя x, получаем показательную функцию от y, поэтому . Применяя теперь формулу (2.10), получим:

.

Пример 2.6. Найти в точке М(1;2) полный дифференциал функции ).

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка, используя (2.1)-(2.3):

.

В данном случае числовые коэффициенты и переменная y выступали в роли констант: во втором слагаемом они были вынесены за скобки при дифференцировании, а третье слагаемое от x не зависело – поэтому его производная по x равна нулю. Аналогично ищем производную по y (фиксируем x):

.

Здесь первое и четвертое слагаемые от y не зависят, их производные по y равны нулю.

Теперь вычисляем значения производных в данной точке: ; .

Воспользовавшись (2.11), окончательно имеем:

Пример 2.7. Найти частные производные второго порядка функции и выписать полный дифференциал второго порядка в точке M(0;1).

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка. Следует обратить внимание на то, что при фиксированном y функция представляет собой произведение двух функций, зависящих от x, а при фиксированном x это константа, умноженная на функцию от y. Применяя (2.1)-(2.3), имеем:

;

Теперь воспользуемся формулами (2.12), причем найдем лишь одну (любую) из смешанных производных:

Находим частные производные второго порядка в заданной точке M(0;1):

; ;

.

Чтобы выписать дифференциал второго порядка, используем (2.14):

.

Замечание. При нахождении частных производных второго порядка в качестве проверки можно было найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты совпадают: