Правила преобразования графика функции f(X)

Функция	Действия с графиком	Действия с осями координат
	Переместить график на |b| единиц по оси OY (вверх при и вниз при )	Перенести ось абсцисс на |b| единиц вниз при (вверх при ).
	Переместить график на |a| единиц по оси OX (вправо при , влево при ).	Перенести ось ординат на |a| единиц (влево при , вправо при ).
	Отобразить график симметрично относительно оси OX («зеркальное» отображение).
	График отобразить симметрично относительно оси OY.
	Увеличить ординаты «базового» графика в C раз при C>1 или уменьшить в 1/C раз при 0<C<1
	У базового графика уменьшить абсциссы в C раз при C>1 или увеличить их в 1/C раз при 0<C<1
	Оставить график без изменения там, где ; фрагменты графика, соответствующие условию , отобразить симметрично относительно оси OX.

Пример 1.3. С помощью преобразования графика гиперболы построить график функции .

Решение. Сначала необходимо выделить «целую часть» данной дробно-рациональной функции: . Далее последовательно выполняются следующие действия:

1) построить график функции ;

2) сдвинуть его на 3 единицы влево по оси OX (получить график функции );

3) полученный график симметрично отобразить относительно оси OX (график функции );

5) сдвинуть его на единицу вверх вдоль оси OY (график заданной функции).

Результат построений можно видеть на рисунке 1.1.

Пример 1.4. Построить график функции .

Решение. Так как , то формулу, задающую функцию, можно преобразовать:

. (1.1)

В соответствии с рекомендациями из таблицы, которые "подтверждены" формулой (1.1), необходимо оставить без изменения фрагмент "базового" графика десятичного логарифма при . Для соответствующий фрагмент «базового» графика отображается симметрично относительно оси OX. Результат см. на рисунке 1.2. (стр.7).

Пример 1.5. Построить график .

Решение. При исследовании квадратичной функции полезно выделять полный квадрат: Теперь можно использовать правила преобразования графиков. Строим график параболы , сдвигаем его по оси OX на 2 единицы вправо и поднимаем по оси OY на 3 единицы. Результат – на рисунке 1.3.

1.3. Задания для самостоятельного решения.

Упражнение 1.1. Найти область определения функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Упражнение 1.2. Проверить, являются ли данные функции четными (нечетными). При отсутствии дополнительных указаний рассматривать функции на естественной области определения.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) , ; 8) ; 9) ;

10) , ; 11) ; 12) .

Упражнение 1.3. Используя правила преобразования графиков элементарных функций, построить эскизы графиков заданных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

7) 8) 9) ;