2.3. Задания для самостоятельного решения

Упражнение 2.1. Найти (если задано – то в точке):

1) ; 2) , x=1;

3) ; 4) ; 5) ;

6) , x=0; 7) ; 8) ;

9) , ; 10) ; 11) , x=1;

12) ; 13) ; 14) .

Упражнение 2.2. Найти дифференциал функции (если указано – то в заданной точке):

1) ; 2) , ; 3) ;

4) ,x=0; 5) , ; 6)

Упражнение 2.3. Найти :

1) ; 2) :

3) ; 4)

Упражнение 2.4. Найти частные производные первого порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Упражнение 2.5. Найти полный дифференциал функции в заданной точке:

1) ,М(2;1); 2) , M(0;2);

3) ,M(2;0); 4) , M(2;1).

Упражнение 2.6. Найти частные производные второго порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5)

§ 3. Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций

3.1. Экстремумы функции одного переменного. Пусть D(f) – область определения функции и . Если для всех x из некоторой окрестности точки выполняется неравенство (или ), то число M (или m) называется локальным максимумом (или локальным минимумом) функции , а сама точка - точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о «точках экстремума»). При поиске экстремумов и точек экстремума функции придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее производную .

3) Проверить необходимое условие экстремума, т.е. выяснить, в каких точках из области определения функции производная обращается в нуль (решить уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными. Найти значения x, при которых функция определена, а производная – нет (совокупность таких точек и стационарных называется множеством критических точек).

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения. Из общего курса математического анализа известно, что на тех интервалах, на которых , функция возрастает, а там, где — убывает.

5) Проверить достаточное условие экстремума (для точек из области определения): если при переходе через найденную точку производная знак не меняет, то не является точкой экстремума; если слева от , а справа , то - точка максимума исходной функции и ; если слева от , а справа , то - точка минимума исходной функции и .

Замечание. Если найденная точка не принадлежит области определения функции, то она в любом случае не является точкой экстремума, хотя характер монотонности (возрастание – убывание) функции измениться при переходе через нее может.

Пример 3.1. Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид и также определена при всех x. Из уравнения находим стационарные точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в промежуточных точках полученных интервалов. Например, , .

Данные собираем в таблицу:

x		–1		1
Знак	—	0	+	0	—
Вывод		т. мин.		т. макс.

Итак, , . При этом исходная функция возрастает на интервале и убывает на интервалах , .

Пример 3.2. Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид . При этом производная не определена там, где в нуль обращается знаменатель, т.е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит число, и потому дробь не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком , а потому и со знаком x, получаем, что слева от x=0 (там, где x<0) (и функция убывает), а справа (и функция возрастает). Поэтому x=0 – точка минимума исходной функции, и .

3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом интервале. При решении ряда задач важную роль играют следующие утверждения.

Теорема о непрерывной на отрезке функции. Если функция определена и непрерывна на числовом отрезке [a;b], то она достигает своих максимального и минимального значений в точках этого отрезка, т.е. существует и такие, что , .

Теорема о функции с единственной стационарной точкой. Пусть функция определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на нем единственную стационарную точку . Если - точка локального максимума, то ; если - точка локального минимума, то .

Первая из теорем позволяет построить алгоритм решения задачи на поиск наибольшего и наименьшего значения функции , определенной и непрерывной на заданном отрезке [a;b]. Этот алгоритм заключается в следующем.

1) Найти производную .

2) Найти критические точки исходной функции и выбрать те из них, которые принадлежат отрезку [a;b].

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках x=a, x=b), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума не определять!

Пример 3.3. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1;4].

Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак, и - стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Сравниваем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка:

;

;

.

Итак, , .

При решении задач практического характера помогает теорема о единственной стационарной точке.

Пример 3.4. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем 1 экземпляр. Издержки производства (в у.е.) зависят от объема выпущенного товара ( ) и определяются формулой . Спрос (цена на товар) также зависит от объема производства и определяется формулой . Найти объем производства товара, при котором прибыль будет максимальна.

Решение. В данной задаче необходимо сначала составить функцию, связывающую прибыль и объем производства товара, а также определить интервал, на котором функция будет исследоваться. Прибыль – это разница между выручкой за проданный товар и издержками. Выручка определяется как объем проданного товара, умноженный на его цену. Таким образом, функция, максимум которой нас интересует, определена на интервале и имеет вид

.

Найдем производную этой функции и приравняем к нулю: . Решив квадратное уравнение, находим: . Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки (сделайте это самостоятельно!), получаем, что - точка максимума, поэтому .

Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной и составит 1010 у.е.

3.3. Локальные безусловные экстремумы функции двух переменных. Сразу отметим, что само определение локальных экстремумов функции фактически не отличается от случая функции одного переменного (только теперь точками локального экстремума будут точки вида ). Алгоритм поиска точек экстремума и экстремумов функции двух переменных состоит в следующем.

1) Установить область определения функции.

2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к нулю, т.е. решить систему уравнений (эти решения дадут координаты стационарных точек исходной функции).

3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции и вычислить их значения в найденных стационарных точках вида .

4) Вычислить для каждой стационарной точки числовые характеристики:

5) Если , то - точка локального минимума исходной функции и ; если , то - точка локального максимума исходной функции и ; во всех остальных случаях не является точкой экстремума.

Пример 3.5. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена при всех значениях (x,y). Найдем частные производные первого порядка, и, приравняв к нулю, решим систему уравнений:

, ;

.

Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.

Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные второго порядка: , ; . В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной точки M(4;-1) имеем: ; ; . Далее, , поэтому M(4;-1) является точкой локального экстремума исходной функции. Поскольку , то M(4;-1) – точка локального максимума исследуемой функции и

Пример 3.6. Найти экстремумы функции , считая, что x>0 и y>0.

Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем частные производные первого порядка: , . Далее, решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):

Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные второго порядка: ; ; . Вычисляем их значения в точке M: ; ; . Теперь находим характеристики  и . Так как , то M(1;1) – точка экстремума; поскольку , то рассматриваемая точка является точкой локального минимума исходной функции и .

3.4. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. При решении примера 3.6 мы столкнулись с тем, что на переменные было наложено дополнительное ограничение. Фактически это была задача поиска условного экстремума функции , которая в общем случае ставится следующим образом: найти экстремумы функции , если известно, что переменные удовлетворяют условиям , ,..., . Для решения подобных проблем существует специальная теория, однако в некоторых ситуациях задачу удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного.

Пример 3.7. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию: , а потому, вводя вспомогательную функцию F(x), имеем: .

Полученную функцию одного переменного исследуем по схеме, разобранной в п.3.1. Функция определена при всех x. Приравнивая к нулю ее производную, получаем: (решили квадратное уравнение). Далее определяем знаки производной на найденных числовых интервала и строим таблицу:

x		-5/3		1
	+	0	—	0	+
Вывод	возр.	Т. макс.	убыв.	Т. мин.	возр.

Для полученных значений x найдем соответствующие им значения y: при x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Доказываемые в общем курсе математического анализа утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой условного локального минимума, а точка N(-5/3;14/3) – точкой условного локального максимума функции . Соответственно,

, .