Дискретная математика называется так потому что в ней нет понятия бесконечного множества, непрерывности, предельного перехода и т.д. В дискретной математике изучается свойства структур конечного характера в отличии от классической математики которая изучает не непрерывные бесконечные структуры.
Методы дискретной математики.
Теория множеств и общая алгебра
Теория автоматов и теория кодирования
Математическая логика
Общая теория графов
Теория алгоритмов
Комбинаторные вычисления
Математическая логика – анализ методом рассуждений. При этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержания. Основы логико-математической теории – высказывание.
Высказыванием называется повествовательное предложение о котором в данной ситуации можно сказать что оно истинно или ложно но не то не другое закономерно. Логика наука о рассуждениях которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения исходя из совокупности первичных предположений, называемых аксиомами. Высказывания бывают простые и сложные. Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей. Если связка применяется к одному высказыванию то её называют унарной. Если связка применяется к двум высказываниям то она называется бинарной. Любое сложное высказывание содержащие связки представляет собой логическую функцию которую можно отразить таблицей истинности. Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложного высказывания.
Простейшие связки.
Высказывания обозначаются прописными буквами латинского алфавита x,y,z.
Составные высказывания получаются из простых с помощью логических операций.
Название |
Прочтение |
Обозначение |
Отрицание |
НЕ |
- |
Конъюнкция |
И |
/\ |
Дизъюнкция |
ИЛИ |
\/ |
Инпликация |
ЕСЛИ…ТО |
-> |
Эквивалентность |
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА КОГДА |
<-> |
Отрицанием высказывания Х называется тогда когда высказывание Х’ которое истинно когда Х ложно и ложно когда Х истинно.
Конъюнкция двух высказываний Х и У называется высказывание которое истинно только в том случае если Х и У оба истинны
Дизъюнкцией двух высказываний истинно когда истинно хотя бы одно из высказываний .
Инпликацией двух высказываний Х и У называется высказывание которое ложно тогда и тогда когда Х истинно а У ложно.
Эквивалентностью высказываний Х и У называется высказывание которое истинно тогда и только тогда когда Х и У оба истинны или оба ложны.
Другие связки.
Название |
Прочтение |
Обозначение |
Штрих Шефферы |
Антиконъюнкция (НЕ И) |
I |
Стрелка Пирса |
Антидезъюнкция |
Стрелка вниз |
Сумма(сигма) по модулю 2 |
Антиэквивалентность |
+ в круге |
0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0
Логические отношения.
Иногда необходимо рассмотреть взаимоотношения двух высказываний и наиболее интересные случае когда из одного высказывания логически следует другое.
Если из Х следует У то говорят что У является следствием Х или что У логически выводимо из Х. Если есть пара Х и У то отношение следствия можнго охарактеризовать следующим образом:
Из Х следует У, если У истинно каждый раз когда истинно Х, то есть если У истинно во всех логически возможных случаях в которых Х истинно.
Х |
У |
Х<->У |
Х->У |
Х\/У |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Х |
У |
Х->Y |
-X\/Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Два высказывания называются логически не совместимыми если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого другими словами несовместимость высказываний Х и У означает что они никогда не могут оказаться одновременно истинны.
X |
Y |
НЕ Х |
НЕ У |
X->Y импликация |
Y->X конверсия инпликации |
НЕ Х-> НЕ У конверсия контрпозиции |
НЕ У -> НЕ Х Контр позиция |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Х является достаточным условием для У.
Если имеет место Х то У также будет иметь место.
Х является не обходимым условием для У.
Если имеет место У то Х также будет иметь место.
Конверсия достаточного условия У стремится к Х
15.10.12
X |
Y |
Ne x |
x-> y |
Ne x->(x->y) |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Y |
Z |
x\/z (1) |
y\/z (2) |
x/\y (3) |
x/\z (4) |
1/\2 (5) |
3\/4 |
x/\5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
F: 1 1 1 1 1 1 1 1
Для каждого из следующих высказываний:
Найдите символическую форму
Постройте таблицу истинности
Воспользуйтесь буквенными обозначениями х для «Джо умен»,
У для «джим глуп»
Z «джо получит приз»
Если Джо умен, а джим глуп то джо получит приз
Джо получит приз в том и только в том случае если он умен или если Джим глуп.
Если Джим глуп а Джо не удасться получить приз, то Джо не умен.
Ответ:
x/\y->z
z<->x\/y
y/\ne z->ne x
X |
Y |
Z |
x/\y |
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
X |
Y |
Z |
Z<->x |
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
y/\ne z->ne x
y |
Ne z |
Ne x |
y/\ne z |
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
22.10.2012