Статистика Бозе - Эйнштейна

Здесь частицы считаются неразличимыми, имеют только дискретные значения энергии и в любом квантовом состоянии может находится любое количество частиц, т.е. принцип Паули не работает. Бозонами являются: фотоны (кванты электромагнитной волны), к - мезоны, - мезоны, фононы (кванты упругой волны). Распределение бозонов по энергиям описываются функцией распределения Бозе - Эйнштейна : .

Статистика Ферми - Дирака

В этой статистике частицы считаются неразличимыми, они имеют дискретные значения энергии и заполнение энергетических уровней происходит в соответствии с принципом Паули, на каждом уровне может находиться максимум два электрона с разными спинами. Примером системы фермионов является электронный газ в металлах. Распределение электронов по энергиям описывается функцией распределения Ферми-Дирака:

.

Она определяет вероятность заполнения электронами состояний с энергией E_i. При Т = 0 К электроны занимают энергетические уровни, начиная с наименьшего и вплоть до уровня μ₀ = Е_Ф – химический потенциал электронного газа при 0 К. Этот уровень называется уровнем Ферми. При 0 К функция f_Ф (Е) удовлетворяет условию:

Если µ₀ = Е_Ф, то µ₀– это максимальная кинетическая энергия, которой обладает электрон при 0К. При Е = Е_Ф, f_Ф = ½ при любой температуре. Таким образом, уровень Ферми – это энергетический уровень, вероятность заполнения которого при любой температуре равна ½.

При повышении температуры часть электронов переходит на более высокие энергетические уровни с E > E_Ф и функция распределения плавно изменяется от нуля до единицы. Если в любой квантовой статистике , то единицей в знаменателе можно пренебречь:

При этом условии квантовые статистики переходят в классическую статистику Максвелла-Больцмана, которую можно считать предельным случаем квантовой статистики.

Энергетические зоны в кристаллах. Классификация твердых тел по зонной теории

Пусть имеется N изолированных атомов какого-либо вещества. Пока атомы изолированы друг от друга, они имеют полностью совпадающие значения энергетических уровней для электронов.

З аполнение уровней в каждом атоме осуществляется независимо друг от друга. По мере сближения атомов, между ними возникает взаимодействие, которое приводит к изменению положения уровней: вместо одного одинакового для всех атомов уровня возникает N очень близких, но не совпадающих уровней энергии. То есть уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N густо расположенных уровней, образующих энергетическую зону. Наиболее сильно расщепляются уровни, заполненные в атоме внешними валентными электронами и верхние незаполненные уровни. Между разрешенными зонами располагаются запрещенные зоны, где электрон находиться не может. Энергетический зазор между уровнями в зоне очень мал: ~ 10^-23 эВ. Т.е. энергия электронов в зоне может изменяться почти непрерывно. На каждом уровне в зоне может находиться не более двух электронов с разными спинами. Если не рассматривать нижние зоны, то последняя из заполненных зон называется валентной зоной. Следующая незаполненная разрешенная зона называется зоной проводимости. Эти зоны разделены энергетическим промежутком, называемым запрещенной зоной. Существование энергетических зон позволяет с единой точки зрения объяснить существование металлов, полупроводников и диэлектриков. Возможны три случая:

1. Если электроны занимают валентную зону не полностью, то достаточно сообщить электронам небольшую энергию ~ 10^-23 эВ, ч тобы перевести их на более высокий уровень. При этом электроны становятся свободными и могут проводить электрический ток, т.е. кристалл с таким заполнением уровней является металлом.

2. Если все уровни валентной зоны заняты электронами, то, чтобы увеличить энергию электрона, т.е. сделать его свободным, необходимо сообщить ему энергию, превышающую ширину запрещенной зоны E > ΔE. Свойства кристаллов с таким заполнением валентной зоны определяются величиной ΔЕ. Если ΔЕ не велика: ΔЕ ~ 0,5 ÷2,5 эВ, то энергии теплового движения будет достаточно, чтобы перевести электрон в зону проводимости. Такой кристалл называется полупроводником.

3. Если валентная зона заполнена, но ширина ΔЕ > 3 эВ, то энергии теплового движения недостаточно для перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости. Такой кристалл является диэлектриком.