Волновая функция  (X, y, z, t)

Функция называется волновой функцией или пси-функцией и является решением уравнения Шредингера. Функция комплексная, поэтому физический смысл имеет произведение функции на комплексно - сопряженную ей функцию : . Это произведение (квадрат модуля волновой функции) действительно и определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в выделенном объеме , т.е. . В квантовой механике состояние микрочастицы описывается с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об ее корпускулярных и волновых свойствах.

Вероятность нахождения частицы в момент времени в конечном объеме , равна . Поскольку – это вероятность, то волновую функцию необходимо нормализовывать так, чтобы вероятность заведомо достоверного события обращалась в единицу. Условие нормировки функции : – оно указывает на объективное существование частицы во времени и пространстве.

Функция должна удовлетворять ряду ограничительных условий, т.е. функция должны быть конечной, непрерывной и однозначной. Задать закон движения микрочастицы означает, задать волновую функцию в каждый момент времени и в каждой точке пространства.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Тогда функцию можно представить: и уравнение Шредингера для частицы, движущейся вдоль оси (одномерный случай):

.

Видно, что левая часть зависит только от времени, а правая – только от координаты, причем обе части равны друг другу только тогда, когда каждая из сторон равна – полной энергии частицы. Тогда, приравнивая каждую часть к , получим два уравнения:

; (1)

. (2)

При движении частицы в пространстве уравнение (2) примет вид:

,

или – это амплитудное уравнение Шредингера для стационарных состояний. Функция

называется амплитудой волновой функции

.

Если движение происходит в ограниченной области пространства, то уравнение Шредингера имеет решение только при строго определенных значениях энергии , которые называются собственными, а функции , соответствующие энергиям называются собственными волновыми функциями. Уравнение (2): имеет решение , где – одно из собственных значений энергии ( ). Поставив в волновую функцию, получим:

, т.к. , а .

Принцип причинности в квантовой механике – задание волновой функции в момент времени определяет ее значение в последующие моменты времени путем решения уравнения Шредингера. В квантовой механике задание функции – причина, а состояние в последующие моменты – следствие.

Уравнение Шредингера для микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Рассмотрим одномерную (движение вдоль оси ) прямоугольную потенциальную яму шириной с бесконечно высокими стенками. Такая яма описывается потенциальной энергией вида:

О

Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

.

По условию частица не проникает за пределы ямы, поэтому волновая функция за пределами равна нулю и граничное условие: . В пределах ямы уравнение Шредингера , но , а , тогда и , т.е. .

Общее решение уравнения Шредингера:

.

Поскольку при , , то , тогда . Условие выполняется только при , где – целое число. Волновое число должно удовлетворять условию . Тогда энергия частицы (n = 1,2,3,.,) Значит уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме, удовлетворяется только при собственных значениях энергии , зависящих от числа . Энергия частицы в потенциальной яме принимает только определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии называются уровнями энергии, а число – главным квантовым числом.

Подставив в значение , найдем собственные функции . Константу найдем из условия нормировки:

или .

Интеграл равен :

, тогда , откуда . Тогда .

На рисунке а) приведены собственные функции, соответствующие уровням энергии при , 2 и 3. На рисунке б) изображена вероятность нахождения частицы в различных участках ямы, равная при , 2 и 3. Энергетический интервал между уровнями

.

Например, для свободного электрона в металле м и эВ, т.е. уровни расположены так близко, что спектр можно считать непрерывным. Если размер ямы соизмерим с атомным м, то эВ, т.е. явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).