IV. Элементы квантовой механики Гипотеза де Бройля

Де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно - волнового дуализма, согласно которой не только фотоны (свет), но и электроны и любые другие микрочастицы с массой покоя не равной нулю, наряду с корпускулярными свойствами обладают и волновыми. Т.е. любой частице с энергией  и импульсом р = mv, соответствует волна, длина которой – формула де Бройля. Связь между полной энергией частицы и частотой волн де Бройля: .

Гипотеза де Бройля получила экспериментальные подтверждения. Например, было показано, что пучок электронов, рассеиваясь на кристалле, дает четкую дифракционную картину, а рентгенограммы и электронограммы от одного и того же вещества одинаковы. Дифракция электронов происходит так же, как электромагнитных волн. Кроме того, были обнаружены дифракционные явления и у атомных и даже молекулярных пучков.

Соотношение неопределенностей

В классической механике состояние частицы, движущейся по определенной траектории, в любой момент времени однозначно определяется значением координат ( ) и трех составляющих импульса ( ). Вследствие наличия у микрочастицы волновых свойств, нельзя говорить о движении частицы по определенной траектории и об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Так как понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла.

Пусть микрочастица движется вдоль оси с импульсом , тогда согласно формуле де Бройля ей соответствует волна с длиной . Но волна, протяженный объект, определена в диапазоне < < , поэтому интервал, в котором локализована частица . Т.е. частица, обладающая определенным импульсом , не имеет определенной координаты и наоборот.

Степень точности, с которой может быть определено положение микрочастицы в пространстве, задается соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Это один из основных законов квантовой механики. Из него следует, что чем точнее определяется координата микрочастицы, тем неопределеннее становятся составляющие её импульса и наоборот. Отсюда также следует, что в квантовой механике утрачивается смысл понятия траектории, которое несовместимо с волновыми свойствами.

Волновое уравнение Шредингера

По аналогии с классической механикой закон движения микрочастицы должен определяться законом распространения волн де Бройля. Распространение любой волны описывается волновым уравнением. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси (одномерный случай):

.

Выразив и через энергию и импульс частицы, мы получим – волновую функцию для свободной частицы, которой соответствует волна с частотой и волновым числом , т.е. . Учитывая, что , выразим и из уравнения плоской волны. Тогда

и .

Подставляя и в уравнение , получим: = .

В трехмерном случае, т.е. когда , волновое уравнение:

или ,

где – оператор Лапласа. Это волновое уравнение Шредингера для свободной частицы.

Если микрочастица движется в силовом поле, т.е. имеет потенциальную энергию , то уравнение принимает вид:

– это общее волновое уравнение Шредингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Оно не выводится, а постулируется и справедливо для любой микрочастицы, движущейся со скоростью << .