- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
В классической физике используются две основные модели материальных объектов: корпускулы (материальная точка, система материальных точек) в механике и поля, например, электромагнитные поля в электродинамике. В связи с этим, из классической физики известны два вида движения: корпускулярное и волновое. Для корпускулярного вида характерна локализация объекта в пространстве и движение его траектории, для волнового движения - делокализация его в пространстве, так как это движение некой среды.
На уровне макроявлений эти два вида движений четко разграничены и являются как бы двумя полюсами (одно дело движение тела, брошенного под углом к горизонту, другое - движение световой волны).
На уровне микромира - это четкое разграничение в осуществленной мере стирается: движение микрочастицы одновременно характеризуется и корпускулярными, и волновыми свойствами, т.е. микрочастицы не являются ни "чистыми корпускулами", ни "чистыми волнами". Они являются сложными образованьями: в зависимости от условий, в которых находится микрочастица, проявляются в определенной мере ее корпускулярные свойства, а в какой-то мере - волновые свойства. Эти свойства - корпускулярные и волновые - присущи микрообъекту одновременно. Это и принято называть корпускулярно-волновым дуализмом или двойственной природой микрообъектов.
2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
Первоначально идея корпускулярно-волнового дуализма была применена к электрическому излучению. В 19 веке, физики твердо установили волновую природу света (уравнение Максвелла, 1873 г.). Но уже к концу 19 века, было открыто явление фотоэлектрического эффекта (Герц, 1887 г.), законы которого нельзя было объяснить на основе представлений классической физики.
А. Эйнштейн, анализируя идею Планка о дискретности значений энергии линейного гармонического осциллятора, сделал новый шаг на пути развития теории "квант". Он выдвинул новую гипотезу: осцилляторы могут порциями не только испускать, но и поглощать электромагнитную энергию благодаря тому, что само электромагнитное поле состоит из отдельных корпускул - квантов с энергией.
. (2.1)
Используя далее известное релятивистское выражение для энергии в виде
, (2.2)
он получил формулу для импульса , положив массу покоя :
, (2.3)
где - скорость света в вакууме. Если учесть связь волнового вектора волны с длиной в виде известного соотношения
, (2.4)
где - единичный вектор направления распространения фронта волны, то вектор импульса кванта света оказывается равным
. (2.5)
На основе корпускулярных представлений об электромагнитном поле Эйнштейн в 1905 г. разработал количественную теорию фотоэффекта. С помощью этой теории блестяще подтверждены законы фотоэффекта, которые экспериментально были установлены А. Г. Столетовым (1888 - 1890 г.).
Особенно ярко корпускулярные свойства излучения проявились при теоретическом обосновании законов эффекта Комптона (1923 г.), при исследовании рассеяния рентгеновских лучей свободными и связанными электронами. С этого времени кванты света стали называть фотонами.
Опыты С. И. Вавилова с флуктуациями световых пучков дали новое понимание связи волновых и корпускулярных свойств света, а именно: свет обладает двойственной корпускулярно-волновой природой, выражаемой уравнениями Эйнштейна (2.1) и (2.5).