§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.

Состояние с заданным значением вырождено с кратностью по значениям проекции момента , т.е. при заданном значении проекция момента может принимать ( ) отличающихся на единицу значений: . Поэтому должно быть целым, откуда следует заключение о значениях квантового числа : оно может быть как целым, так и полуцелым.

Это объясняется тем, что квантовый момент может быть связан как с пространственным движением частицы (орбитальный момент), так и с собственным внутренним моментом квантовой частицы, называемым спином.

Легко показать, что проекция орбитального момента частицы может быть только целой. Орбитальный момент импульса частицы достаточно хорошо изучен в классической механике. В квантовой механике проекция орбитального момента импульса в сферической системе координат имеет вид:

(21.1)

Используя выражение (21.1) определим спектр значений проекции орбитального момента импульса . Для этого необходимо решить задачу на собственные значения и собственные функции оператора :

или

(21.2)

где - непрерывная, однозначная, ограниченная функция.

Будем искать решение в виде

(21.3)

Подставляя (21.3) в выражение (21.2), определим значение постоянной :

откуда волновая функция примет вид

где постоянную определим из условия нормировки :

Таким образом, волновая функция имеет вид:

(21.4)

Функция (21.4) должна удовлетворять условию

(21.5)

согласно условию однозначности функции. Подставляя (21.4) в (21.5), получаем

или

Данное выражение имеет место при выполнении условия

(21.6)

где - магнитное квантовое число.

Таким образом, целые значения соответствуют орбитальному моменту, а полуцелые связаны с собственным механическим моментом частицы – спином.

Затруднительно представить механическую модель спина. Это внутренняя степень свободы квантовой частицы, которая не имеет классического аналога.

§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.

Операторы спина обозначаются . Все выражения, полученные в § 19, 20 для общего момента справедливы как для орбитального , так и для спинового момента . Поэтому, согласно общей теории момента,

(22.1)

(22.2)

Спин может иметь как целые, так и полуцелые значения. В соответствие с этим выделяют два класса частиц: с целым спином – бозе-частицы и с полуцелым спином – ферми-частицы.

Рассмотрим элементарный случай, когда :

. (22.3)

И проекцию спина на произвольно выбранное направление, например на ось OZ:

. (22.4)

Т.к. операторы спина коммутируют с операторами координаты и импульса, то полный набор физических величин с учётом спина может быть представлен двумя комбинациями:

1)

2)

Представим спиновые операторы и состояния системы в матричном виде (в –представлении). Для этого сначала выберем базисные вектора. Т.к. определяет состояние частицы с учётом спина, то введём следующие обозначения:

(22.5)

где - ортонормированные вектора выбранного базиса. Любое состояние можно записать с помощью этих базисных векторов:

,

где вектор нормированный, т.е. . В состоянии при измерении проекции спина на ось OZ мы получим значение с вероятностью и с вероятностью . Таким образом, вектор можно записать как .

Найдём вид матрицы в -представлении.

,

где элементы матрицы вычисляются следующим образом:

Откуда

. (22.6)

Для нахождения вида операторов и определим вид операторов и . Согласно уравнению (20.22)

,

,

.

Тогда

и матрица примет вид

. (22.7)

Матрица получается из матрицы путём перестановки строк и столбцов матрицы (транспонирования матрицы ):

. (22.8)

Операторы и выражаются через операторы следующим образом:

Откуда получаем вид операторов и :

или

(22.9)

(22.10)

Таким образом, для случая спиновые матрицы являются двухрядными. Принято записывать их в следующем виде:

(22.11)

где - матрицы Паули в -представлении:

(22.12)

Матрицы Паули обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Любая двухрядная матрица может быть представлена через матрицы Паули и единичную матрицу.

(22.13)

Свойство 2. Собственные значения любой матрицы Паули есть .

Найдём матричное представление собственных векторов матрицы Паули (например ) .

С одной стороны,

с другой

.

Откуда

,

.

Таким образом, . Аналогичным образом находим .

Аналогично определяются собственные вектора операторов .

Свойство 3.

. (22.14)

Доказательство. Доказательство проведём для оператора .

Свойство 4.

(22.15)

Свойство5.

(22.16)

Доказательство. Следует из свойства 4.

С учётом спина волновая функция должна зависеть не только от пространственных переменных, но и от спиновых: .

Рассмотрим состояние электрона с учётом спина:

Согласно принципу суперпозиции состояний, если система может находиться в состояниях и , то она может находиться и в состоянии

. (22.17)

где - нормированный вектор. Матрица (22.17) называется спинором.