§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.

Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является уравнение Шредингера, описывающее движение нерелятивистской частицы без учета спина:

где - оператор Гамильтона. Теория Шредингера исходила из предположения, что электрон обладает лишь степенями свободы, которые соответствуют движению материальной точки в пространстве координат .

Введение же новой степени свободы, связанной со спином, дает новые возможности для перехода от величин классической механики к квантовым операторам и позволяет построить оператор

(24.1)

где - матрицы Паули, а - импульс частицы. Оператор (24.1) может быть использован при построении оператора энергии.

Произвольное состояние электрона при учете спина записывается в виде двухрядной матрицы

Вследствие этого и гамильтониан тоже должен быть двухрядной матрицей и, согласно свойствам матриц Паули, может быть представлен через матрицы Паули и единичную матрицу .

Гамильтониан не должен зависеть от направлений, т.е. пространственные переменные должны входить в гамильтониан равноправным образом и в то же время он должен включать в себя матрицы Паули . Таким образом, из соображений размерности можно положить, что гамильтониан свободной частицы с учетом спина имеет вид:

(24.2)

Используя свойства матриц

и коммутативность операторов

,

вычислим квадрат скалярного произведения :

Откуда

Как и следовало ожидать в отсутствие внешних полей наличие спина никоим образом не проявляется, и введение оператора, определяемого формулой (24.1), здесь ничего не вносит.

Иначе обстоит дело при наличии магнитного поля, когда классическая функция Гамильтона электрона в электромагнитном поле с векторным потенциалом и скалярным потенциалом имеет вид:

Согласно правилам квантования

и учитывая наличие спина у электрона

оператор Гамильтона примет вид:

(24.3)

Рассмотрим квадрат скалярного произведения операторов и :

Используя свойства матриц Паули, получим

Учитывая выражения, справедливые для

квадрат скалярного произведения примет вид:

(24.4)

В данном случае операторы не коммутативны, а удовлетворяют перестановочным соотношениям:

(24.5)

где - составляющие магнитного поля.

Оператор Гамильтона (24.3) с учетом (24.4), (24.5) примет вид:

(24.6)

или

(24.7)

где постоянная есть магнитный момент электрона. Таким образом, наличие спина у электрона влечет за собой наличие собственного магнитного момента электрона.

Определив выражение оператора Гамильтона (24.7), запишем волновое уравнение, называемое уравнением Паули, которое описывает состояние электрона в магнитном поле без поправки на теорию относительности:

(24.8)

§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.

Теории Шредингера и Паули носят нерелятивистский характер. Дирак в 1928 году обобщил уравнение Паули на теорию относительности и получил релятивистски инвариантное уравнение, описывающее движение электрона в магнитном поле.

Рассмотрим сначала уравнение Дирака для свободного электрона (в отсутствие внешних полей). В этом случае классическое выражение функции Гамильтона в теории относительности имеет вид:

(25.1)

где . Согласно правилам квантования

и с учетом спина электрона

запишем

(25.2)

Для нахождения явного вида оператора Гамильтона необходимо извлечь корень . Для этого введем матрицы , аналогичные матрицам Паули, такие, что

(25.3)

Нетрудно показать, используя свойства (25.3), что

(25.4)

при условии, что . Откуда с учетом (25.4) оператор Гамильтона (25.2) примет вид:

(25.5)

Введя обозначение , где - так называемые матрицы Дирака, и выбирая на роль и матрицы:

запишем уравнение Дирака для свободного электрона

(25.6)

где , , а .

Таким образом, уравнение Дирака – это фактически система четырех уравнений для от .

Огромным успехом теории электрона Дирака стало теоретическое предсказание существования позитрона, который вскоре после этого и был обнаружен.

Обобщим полученное уравнение (25.6) на случай электромагнитного поля. Очевидно, что для этого достаточно произвести замену и прибавить потенциальную энергию :

(25.7)

Уравнение Дирака – это релятивистски инвариантное уравнение для частицы со спином , т.е. для ферми-частицы.