- •1.Правило Крамера для системы 2х линейных уравнений.
- •2.Определители
- •4.Вычисление определителя, приведение к треугольному виду.
- •5.Вычисление определителя методом Лапласа.
- •1.∆≠0 То система (*) имеет 1решение,которое находится по формулам:
- •15Координаты вектора
- •16Декартова прямоугольная система координат.
- •17.Сколярное произведение векторов.
- •18.Векторное произведение векторов.
- •19.Смешенное произведение векторов.
- •21.Общее ур-е прямой, нормальный вектор прямой,взаимное расположение 2х прямых.
- •23.Плоскости
- •24Нормальное ур-е плоскости
- •25.Множества, Понятие функций.
- •26.Абсолютная величина действительного числа
- •27.Основные понятия действительных чисел
- •28.Верхние и нижние границы числовых множеств.
- •29.Понятие функций и гр функций.
- •Предел последовательности
- •31.Символика
- •32.Понятие последовательности и её пределы.
- •34.Бесконечно малые и бесконечно большие послед-ти.
- •35.Монотонные послед-ти
- •Предел и непрерывность функций
- •36.Определение предела функций
- •37.Арифметические операции с пределами функций
- •38.Односторонние пределы
- •39.Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •40.Непрерывность функции
- •41.Односторонняя непрерывность
- •42.Точки разрыва
- •Дифференцирование одного переменного
- •44.Определение производных
- •45.Геометрический смысл производной
- •46.Дифференцирование функций
- •47Дифференциал.
- •48Дифференциалы высших порядков
- •49.Дифференцирование ф-ции заданной параметрически.
- •50.Основные теоремы диф-ого исчисления
- •51.Правило Лапиталя
- •52Формула Тейлора
- •53.Условия монотонности функции
- •54Экстремумы функции
- •55.Выпуклые и вогнутые кривые
- •56.Асимптоты гр функции
Основы линейной алгебры.
1.Правило Крамера для системы 2х линейных уравнений.
(*)
_
(
∆= главный определитель
∆=
Правило Крамера для системы линейных уравнений
1.∆≠0 то система (*) имеет 1решение,которое находится по формулам:
2.∆=0, а хотя бы один из вспомогательных определителей система (*) не имеет решений.
3.∆=0 , то система (*) имеет бесконечное число решений.
Пример1.
∆=32-35=-3≠0
= = -104+98=-6 = =-56+65=9
х= /∆=2 у= /∆=-3
пример2. ∆= =12-12=0 =28-22=6≠0 нет решений.
Пример3. ∆= =0 = =0 = =0 ∆=
У= ответ:
2.Определители
1.Определителем 2порядка называется число, опр по формуле ∆= =
2.Определителем 3порядка наз. Число, опр по формуле ∆=
= правило Сарруса (правило треуг.)
3.Определителем n-ого порядка наз ∆ определяемый с помощью табл.∆= (**)
3.Свойства определителей.
Транспонирование – определитель (**) наз. Такое его преобразование, при кот. Его строки становятся столбцами с теми же самыми номерами.
Св-во1.Определитель не меняется при транспонировании
Пример1.∆= ∆=
Св-во2.Если какая-нибудь строка определителя состоит из одних нулей, то его значение=0
Св-во3.При перестановке местами любых 2х строк определитель меняет знак.
Пример. =20+100-16-70=34 =16+70-20-100=-34 =16+70-20-100=-34
Св-во4.Определитель, сод. 2одинаковые строки = 0 =ав-ав=0
Св-во5.Общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя
Св-во7.Если все элементы i-й строки определителя n-ого порядка представлены в виде суммы 2х слагаемых =1,2,3…n ,то определитель равен сумме 2х определителей у которых все строки кроме такие же как в заданном определителе, а i–я трока в одном из слагаемых состоит из ,а в другом из элементов
= +
Св-во8.Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель = 0 (следствие из св-ва7, св-ва6)
Св-во9.Определитель не меняется если к элементам одной из его строк +/- соответственные элементы др строки умноженные на одно и то же число.
= + =
4.Вычисление определителя, приведение к треугольному виду.
Св-во10.Если все элементы определителя расположенные по одну сторону от главной диагонали = 0, то этот определитель = произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Запись такого вида наз. Треугольным видом.
Прим.
5.Вычисление определителя методом Лапласа.
Опр1.Минором некоторого элемента с индексом n-ого порядка наз. Определитель n-1 порядка, полученного из исходного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых находится выбранный элемент ( )
Опр2. Алгебраическим дополнением элемента определителя наз. Его минор взятый со знаком ( , где i-№ стороки, а j-№столбца( )
Прим.
Правило Лапласа для определителей.
∆= равен сумме произведений элементов некоторой строки(столбца) на их алгебраические дополнения по n-й строке
∆=
Прим.∆= =1( =35-12-2(15-8)+2(9-14)=-1
6.Правило Крамера для любой системы линейных уравнений.
(*) ∆=
Правило Крамера для любой системы линейных уравнений