Предел последовательности
31.Символика
1.А→В утв А влечет утв В
2.А⟺В утв А и В эквивалентны
3.А
В
для вып-я А необходимо и достаточно
вып-ие В
4.
символ отрицания
5.
квантер общности «для всех», «любой…»
6.
квантер
существования «существует», «имеется»
7. ,- вместо слов «удовлетворяющие»
8.:-вместо слов «имеет место св-во…»
9( ) ограничение
Опр1.Дадим опред чётной ф-ции
1.f:𝑅→𝑅
(
2.f:R→R
(
3Возрастающая
f:X→R
(
32.Понятие последовательности и её пределы.
Опр1.Пусть
каждому числу n
натурального ряда чисел 1,2…,n,…
ставят в соотв число
,те
заданы некоторые действительные числа,
опред определённым образом прономерованные,
тогда мн-во вещественных чисел
наз числовой послед-ю
-члены
послед-ти одно
-общий
член послед-ти
Опр2.
Послед-ть
-наз
сходящейся если сущ-т т.а
𝑅
обладающая св-вом для
>0
мущ-ет число N
зависящее от
N=N(
)
такое, что при всех n>N,
выполняется│
в этом случае а- предел
или
Если не сходится, то говорят что она расходится
=a(
Зам-ие
;
;
a-
33.Св-ва сходящихся последовательностей
Св-во1.Если сходится, то её предел единственный
Опр.1
наз
ограниченной если (
2.Ограниченной
сверху если (
3.Ограниченной
снизу если (
Св-во2 Если сходится то она ограничена
Св-во3 Арифметические операции с пределами:
Пусть
сходятся
,
тогда для послед-ти
справедливо:
=у+х
=Сх
С=const
Св-во4Предельные переходы в неравенства
Пусть
-послед-ти
в 𝑅,
тогда:
Для
сходящихся послед-тей
из
соотн:
следует х
2.Из
соотн:
,
следует
3.Если
<p
(x>q)
,то начиная с некоторого номера
Зам-ие
,то
не следует строое неравенство lim.
34.Бесконечно малые и бесконечно большие послед-ти.
Опр1.Числовая послед-ть наз бесконечно малой если
(
<
Опр2.Пусть действительная послед-ть
⟺(
⟺(
⟺(
все эти послед-ти наз бесконечно большими послед-тями.
Теор.Св-ва бесконечно малых послед-тей
1)Сумма бесконечно малых послед-тей есть беск. малая послед-ть
2)Произв. бесконечно малых послед-тей есть беск. малая послед-ть
3)Произв. бесконечно малой послед-ти на ограниченную послед-ть есть беск. малая послед-ть (1,2 из 3)
Док-во св-ва3
Пусть
-огр
послед-ть
(
(
<
/M
При
всех n>N:
<
35.Монотонные послед-ти
наз
1.возрастающей если
(
2.возрастающей
(
3.неубывающей(
4.невозрастающей(
Все эти послед-ти наз монотонными(1,3монот возр;2,4монот убыв)
Теор:Св-ва монотонных послед-тей
1)Любая монотонновозр(убыв) послед-ть огр сверху(снизу) имеет конечный предел
2)Предел
монотонновозр(убыв) неогр сверху(снизу)
послед-ти=+
Прим1
Доказать
что
;
при
(соотв
п.3)
расписываем
следущий элемент послед- ти
(тк.
индекс любой)
=0
чтд
Прим2
=0
если│а│
Предел и непрерывность функций
36.Определение предела функций
Опр
по Коши:
А наз пределом ф
где х
Х,
при х→а, если
(
<
При
этом пишут
=А
при
Зам-ие
а-
│
А
A+
При сужении окрестности график неогр. приближается к у=А
Опр по Гейне: А наз пределом ф где х Х, при х→а, если
(
→A
Опр
по Коши- док-во сущест-ия
;
опр
по Гейне-для несущ. Lim
Прим1
Доказать
(
<
По
заданному
найти
<
→
<
Пусть
=t,
t>0
;
+4t<
;
+4t-
0<
<
2→
Прим2.
доказать что не существует
=
lim
не существует