- •1.Правило Крамера для системы 2х линейных уравнений.
- •2.Определители
- •4.Вычисление определителя, приведение к треугольному виду.
- •5.Вычисление определителя методом Лапласа.
- •1.∆≠0 То система (*) имеет 1решение,которое находится по формулам:
- •15Координаты вектора
- •16Декартова прямоугольная система координат.
- •17.Сколярное произведение векторов.
- •18.Векторное произведение векторов.
- •19.Смешенное произведение векторов.
- •21.Общее ур-е прямой, нормальный вектор прямой,взаимное расположение 2х прямых.
- •23.Плоскости
- •24Нормальное ур-е плоскости
- •25.Множества, Понятие функций.
- •26.Абсолютная величина действительного числа
- •27.Основные понятия действительных чисел
- •28.Верхние и нижние границы числовых множеств.
- •29.Понятие функций и гр функций.
- •Предел последовательности
- •31.Символика
- •32.Понятие последовательности и её пределы.
- •34.Бесконечно малые и бесконечно большие послед-ти.
- •35.Монотонные послед-ти
- •Предел и непрерывность функций
- •36.Определение предела функций
- •37.Арифметические операции с пределами функций
- •38.Односторонние пределы
- •39.Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •40.Непрерывность функции
- •41.Односторонняя непрерывность
- •42.Точки разрыва
- •Дифференцирование одного переменного
- •44.Определение производных
- •45.Геометрический смысл производной
- •46.Дифференцирование функций
- •47Дифференциал.
- •48Дифференциалы высших порядков
- •49.Дифференцирование ф-ции заданной параметрически.
- •50.Основные теоремы диф-ого исчисления
- •51.Правило Лапиталя
- •52Формула Тейлора
- •53.Условия монотонности функции
- •54Экстремумы функции
- •55.Выпуклые и вогнутые кривые
- •56.Асимптоты гр функции
37.Арифметические операции с пределами функций
Теор: арифм. операции с пределами ф.
Пусть Х⊂𝑅 g(x) =А =B
1. =А+B
2. =А*B
3. =C*А
4. =А/B при В≠0
Док-во:если воспользоваться определением предела по Гейне, то эти утв следуют из аналогичных св-в для соотв. послед-тей.
Зам-ие:
38.Односторонние пределы
Пусть в мн-ве Х⊂𝑅 задана ф
1утв.А наз lim справа для ф в т.а, те =А, если
( <
2утв. А наз lim справа для ф в т.а, те =А, если
( > при этом lim наз односторонние пределы
Теор:об однозначных пределах
Для того,чтобы у ф-ции действительного перменного сущ-ал такой предел необх. И достаточно, чтобы сущ-али односторонние пределы , при этом
39.Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Опр1. Ф. ,где х⊂Х наз беск малой при х→а если =0, те( <
Ф. ,где х⊂Х наз беск. большой при х→а если =0, те(
Зам-ие:сами по себе понятия беск. малой и беск. большой ф-ции в математике не сущ-ет.Эти понятия вводятся при опр усл: , где а-МБ несобственное число(
Прим.
1сл: = - беск малая
2сл: = - беск большая
3сл: : = - беск малая
Опр2.Пусть бесконечно малые величины х→а. Введем понятие:1)величина наз бесконечно малой более высокого порядка малости чем если =0;
2)Если =С;С≠0,то наз величинами одного порядка малости.
3)Если =1, то наз эквивалентными бесконечно малыми величинами ( )
4)Если сущ-ют конечные числа С≠0 и К>0 такие, что =1,то говорят,что имеет порядок малости К по отн к х-а. наз главной частью бесконечно малой
Теор:о представлении бесконечно малой
главная часть бесконечно малой при то представима в виде:
о-более высокого порядка малости
Док-во: =1→
(обе части
= числитель более высокого порядка малости чем знаменатель
чтд
Прим1. беск малые при х→1
= = = =0 вывод
Прим2. ; беск малые при х→8
= =
=12 вывод наз величинами одного порядка малости.
Прим3 беск малые при
=1- первый замечательный предел
40.Непрерывность функции
Опр. f: (а,в)→𝑅 наз непрерывной в т. если равен значению ф в этой точке,те
f: (а,в)→𝑅наз непрерывной на мн-ве (а,в) если она непрерывна в каждой т. этого мн-а
Теор:арифметические св-ва непрерывных ф-ий
Пусть f: (a,b)→𝑅 g: (a,b)→𝑅 непрерывные ф в т. ⊂мн-ву (а,в), тогда f(x)+g(x), f(x)g(x), непрерывны в т
Док-во: f(x)g(x) непрерывны в т ,где
, ,тогда по т.об арифм операциях над пределами = непрерывна
=
=
Теор:о непрерывности сложной ф-ции
Пусть у→ непрерывна а в т. ; непрерывна в т. ,тогда сложная ф непрерывна в т.
Зам-ие:все элементарные ф-ции вкл обратные тригонометрические и гиперболические непрерывны в т.,в которой опред их значения
Пр1.у= непрерывна для любого х как сумма 2х ф
Пр2.у= непрерывна для любого х как произв 2х ф
Пр3.у= непрерывна во всех т кроме х=0 как частное 2х ф
Пр4у= непрерывна как сложн ф 2х непрерывных ф
41.Односторонняя непрерывность
Опр. Пусть f: (a,b)→𝑅 ф действительного переменного
Утв1. ф f(x)наз непрерывной справа в т. если или
Утв2. . ф f(x)наз непрерывной справа в т. если или Непрерывность ф слева и справа наз односторонней непрерывностью.
Теор.Связь односторонней непрерывности с непрерывностью
f(x)непрерывна в т. ,тогда когда одновременно непрерывна справа и слева в этой т
Док-во
=
Зам-ие:из опред односторонней непрерывности следует,что для f: [a,b]→𝑅 в т.х=а можно опред только непрерывность справа, а в т.х=в только непрерывность слева.