1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.

В 1900 г. М. Планк, анализируя опытные данные по излучению абсолютно черного тела, выдвинул гипотезу, которая коренным образом изменила представление классической физики. Согласно этой гипотезе осцилляторы (атомные системы) не могут иметь произвольную энергию; колеблясь с частотой , энергия осциллятора должна быть кратной некоторому минимальному значению , т.е.

, (1.16)

где =0,1,2,3, ... Указанная совокупность энергий образует бесконечный, но дискретный ряд величин. Тогда средняя энергия осциллятора легко рассчитывается по формуле среднего статистического

. (1.17)

Обозначив , формулу (1.17) преобразуем к виду:

. (1.18)

Вычисляя сумму , получим

. (1.19)

Это и есть формула Планка для средней энергии линейного осциллятора. Спектральная плотность энергии равновесного излучения в этом случае оказывается равной:

. (1.20)

Чтобы формулу (1.20) привести в соответствии с термодинамической формулой Вина (1.2), Планк положил минимальную порцию энергии равной , и получил знаменитую формулу¹:

, (1.21)

величина , имеющая размерность действия, называется постоянной Планка.

В случае (низкие частоты) имеем и формула (1.21) переходит в формулу Релея – Джинса (1.11).

Если же (высоки частоты) формула (1.21) переходит в формулу Вина (1.15), т. к. .

Формула Планка (1.21), описывающая зависимость спектральной плотности равновесного излучения от частоты , находится в блестящем согласии с экспериментом.

На основе формулы (1.21) легко найти плотность равновесного излучения:

.

Вводя новую переменную , откуда , и учитывая табличный интеграл

,

получаем закон Стефана – Больцмана:

,

где постоянная Стефана – Больцмана выражена через универсальные константы:

. (1.22)

С помощью формулы (1.21) теоретически строго обосновывается закон смещения Вина, который обычно записывается для спектрального распределения по длинам волн . Примем во внимание соотношения

,

тогда из равенства

следует выражение для :

. (1.23)

Исследуя (1.23) на экстремум, приходим к уравнению

5-y=5e^-y , (1.24)

где . Это уравнение решается графически. Корень этого уравнения y*≈4,965 связывает температуру T и длину волны , на которую приходиться максимальное значение :

. (1.25)

Это есть закон смещения Вина, где b называется постоянной Вина.

Итак, гипотеза Планка позволила разрешить «ультрафиолетовую катастрофу», обосновать законы равновесного излучения и вычислить значение введенной фундаментальной константы ћ - постоянной Планка.

Из соотношений (1.22) и (1.25) по экспериментальным значениям постоянных Стефана – Больцмана σ и Вина b, можно рассчитать постоянную ћ и уточнить значение постоянной Больцмана. Таким образом, впервые и было найдено значение ћ≈1,054∙10^-34 Дж∙с и уточнено значение k₀.

Из формулы Планка (1.21) видно, что при ћ→0 получается классическая формула Релея – Джинса. Уже и здесь проявилась фундаментальность этой физической константы, определяющей широкий круг физических явлений, для которых существенна дискретность величин.