5.2. Определение состояния квантовой системы.

Второй, чрезвычайно важный, постулат касается математического определения состояния квантовой системы и его физического содержания. Классический способ определения состояния систем оказывается непригодным в квантовой области в силу корпускулярно-волнового дуализма. Согласно фундаментальной идее де Бройля состояние свободной частицы с определённым импульсом задаётся комплексной волновой функцией

, (5.1)

так называемой волной де Бройля. Функция (5.1), заданная во всём пространстве, математически представляет собой вектор бесконечномерного векторного линейного пространства.

Второй постулат можно рассматривать как математическое обобщение гениальной идеи де Бройля. Он утверждает: в квантовой механике состояние микрообъекта (любой системы) наиболее полно описывается вектором гильбертова пространства . Причём  и с (с–произвольное комплексное число) физически определяют одно и тоже состояние системы. Вследствие этого можно считать, что вектор состояния  удовлетворяет условию нормировки:

(,) = 1 (5.2)

Теоретически, смысл этого условия заключается в том, что состояние системы определяется лишь направлением вектора .

3. Принцип суперпозиции состояний.

Квантовомеханический принцип суперпозиции утверждает: если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых векторами гильбертова пространства ₁, ₂, …_к, то она может находиться и в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих векторов:

 = с₁₁+с₂₂+…+с_к_к, (5.3)

где с₁, с₂ ,…, с_к,– произвольные комплексные числа, т.е. физически возможна суперпозиция состояний.

Важно обратить внимание на то, что состояние квантовой системы описывается вектором гильбертова пространства, норма которого равна 1, поэтому существенно только направление вектора. Отсюда следует, что векторы  и с (с–произвольное комплексное число) описывают одно и то же состояние квантовой системы. В этом состоит особенность принципа суперпозиции квантовой механики, отличающая его от классического принципа суперпозиции. Отличие квантовой суперпозиции от классической можно проиллюстрировать таким примером. Суперпозиция двух классических волн приводит к возникновению новой волны, обладающей, естественно, и новыми физическими характеристиками. Квантовая же суперпозиция двух состояний, описывающихся одинаковыми векторами ₁ и ₂=₁, не приводит к новому состоянию в силу того, что вектор, описывающий получившееся состояние оказывается равным  = ₁+₂ =2₁, а, следовательно, направление векторов  и ₁ одинаково, т.е. они описывают одно и то же состояние.

Из принципа суперпозиции состояний следует, что все уравнения, которым удовлетворяют векторы состояний , должны быть линейными (относительно ).

Принцип суперпозиции состояний отражает волновую природу микрочастиц и выполняется в нерелятивистской квантовой механике без исключения. Ярким подтверждением этого является опыт с интерференцией пучка электронов от двух щелей (§3, п.4). Сложение векторов состояний (волновых функций), а не вероятностей, представляет важнейшую особенность суперпозиции состояний в микромире.

Важным примером суперпозиции состояний, бесконечно мало отличающихся друг от друга (когда сумма (5.3) заменяется интегралом), является представление произвольного состояния микрообъекта суперпозицией волн де Бройля, т.е. состояний заданным импульсом частицы.¹