§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
физических величин с не коммутирующими операторами.
Рассмотрим две физические величины А
и В, коммутатор операторов которых
отличен от нуля:
.
Докажем теорему.
Теорема: Если операторы
и
не
коммутируют, то произведение дисперсий
соответствующих физических величин не
меньше четверти квадрата модуля среднего
значения коммутатора их операторов
,
т.е.
.
Доказательство: Введем в рассмотрение операторы
,
,
(12.1)
и примем во внимание, что статистический разброс значений физических величин определяется дисперсией:
, (12.2)
где
произвольный
вектор состояния квантовой системы.
Для определения связи с дисперсий (12.2)
рассмотрим векторы гильбертова
пространства
(12.3)
Согласно неравенству Буняковского-Коши, которое справедливо и в гильбертовом пространстве, можно записать:
(12.4)
где
(12.5)
В преобразованиях (12.5) учтена эрмитовость
операторов
и
.
Квадрат модуля скалярного произведения
векторов
и
преобразуется к виду:
(12.6)
Тогда неравенство (12.4) примет вид:
(12.7)
Для определения среднего значения
преобразуем оператор
:
(12.8)
где
и
эрмитовы
операторы. На основе (12.8) находим:
(12.9)
подставляя (12.9) в неравенство (12.7), получим
откуда
тем более справедливо неравенство
т.е.
(12.10)
что и требовалось доказать: произведение
дисперсий физических величин А и В с
некоммутирующими операторами не меньше
четверти квадрата модуля среднего
значения коммутатора этих операторов
Извлекая корень квадратный из соотношения (12.10), получим:
. (12.11)
Обычно для упрощения записи это неравенство записывается в виде:
(12.12)
где
.
Для случая, когда
,
,
выражение (12.12) дает ранее полученное
соотношение неопределенностей (11.13’).
Итак, соотношения неопределенностей, которые существуют между некоторыми физическими величинами, полностью определяются коммутаторами этих операторов этих величин.
Отсюда, в частности, следует вывод, что если операторы физических величин попарно коммутируют друг с другом, то эти физические величины могут одновременно иметь определенные значения. Это условие одновременной измеримости физических величин доказано в §9.
Физическая сущность соотношений неопределенностей состоит в том, что для квантовых систем, в отличие от классических, не имеет смысла требовать одновременно определенных значений всех физических величин, что обусловлено двойственной природой объектов микромира. Существование соотношений неопределенностей для физических величин в квантовой механике обусловлено не какими-то особенностями измерения, а внутренними особенностями самих квантовых систем.
Таким образом, соотношения неопределенностей являются математическим выражением наличия у частиц (микрообъектов) как корпускулярных, так и волновых свойств.