5.4.3. Рівняння Шредінгера. Мікрочастинка в потенціальній ямі. Проходження мікрочастинки через потенціальний бар’єр

22. У випадку лінійного гармонічного осцилятора сила, що повертає частинку в положення рівноваги, визначається за формулою f=−x (де  − коефіцієнт пропорційності, х – зміщення від положення рівноваги). Напишіть рівняння Шредінгера для цього гармонічного осцилятора. [ ].

23. Напишіть рівняння Шредінгера для електрона, який перебуває у нескінченно глибокій одномірній прямокутній потенціальній ямі шириною l (рис. 5.3). Напишіть розв’язок цього рівняння у тригонометричній формі для ділянки ІІ (0<x<l). [ ; ].

24. Розв’язком рівняння Шредінгера для електрона, що міститься у нескінченно глибокій одномірній прямокутній потенціальній ямі шириною l (рис. 5.3) у тригонометричній формі є функція (x)=Asinkx+Bcoskx. Використавши граничні умови (0)=0 і (l)=0 та умову нормування функції , визначити коефіцієнти А і В і можливі значення хвильового вектора k, при якому існують нетривіальні розв’язки. [ ].

25. Власна функція, що описує стан частинки міститься в нескінченно глибокій одномірній прямокутній потенціальній ямі, має вигляд _n(x)=Asin . Визначити числове значення коефіцієнта А, використавши умову нормування. [ ].

26. Електрону в глибокій одномірній прямокутній потенціальній ямі шириною l відповідає хвильове число k=nl ( n=1,2,3, …). Використовуючи зв’язок енергії E електрона із хвильовим числом k, знайти вираз для власних значень енергії E_n електрона в потенціальній ямі. [ , n= 1,2,3…].

27. Електрон, перебуваючи в глибокій одномірній потенціальній ямі шириною l=1 нм, може набувати лише дискретних значень енергій. 1) У якій області енергій відстань між енергетичними рівнями електрона найменша? 2) Чому чисельно дорівнює в електронвольтах найменша різниця  енергетичних рівнів електрона? [1) В області найменших енергій; 2) ΔЕ=1,12 еВ].

28. Частинка в глибокій одномірній потенціальній ямі шириною l перебуває у збудженому стані (n=3). Користуючись графіком густини ймовірності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями, визначити, в яких точках інтервалу (0<х<l) ця густина ймовірності знаходження максимальна, а в яких мінімальна. [Максимальна при х₁=1/6∙l; x₃= 1/2∙l; Мінімальна при х₂=1/3∙l; х₄=2/3∙l].

29. Електрон в атомі можна наближено розглядати як частинку, що міститься у глибокій одномірній прямокутній потенціальній ямі шириною l. В яких точках в інтервалі (0<х<l) густина ймовірності знаходження електрона на першому і другому енергетичних рівнях однакова? Чому чисельно рівна густина цієї ймовірності? Поясніть розв’язок графічно. [х₁=1/3∙l; х₂=2/3∙l; = 3/2∙l].

30. Електрон знаходиться в глибокій одномірній потенціальній ямі шириною l у збудженому стані (n=2). Знайти ймовірність знаходження електрона в першій та в середній третині потенціальної ями. Де ця ймовірність буде більшою. [W₁=0,402; W₂=0,195. Більша ймовірність знайти електрон буде у першій третині потенціальної ями].

31. Знайти ймовірність знаходження електрона в глибокій одномірній потенціальній ямі шириною l в інтервалі 1/4, рівновіддаленому від стінок ями, якщо електрон перебуває у найнижчому енергетичному стані. [W=0,475].

32. У скільки разів ймовірність знаходження електрона на першому енергетичному рівні в інтервалі ¼, рівновіддаленому від стінок глибокої одномірної потенціальної ями шириною l, більша від ймовірності знаходження електрона на другому енергетичному рівні в тому ж самому інтервалі ширини потенціальної ями? [Більша у 5,22 разів].

33. Визначити середнє значення координати електрона (0<х<l), який міститься у глибокій одномірній потенціальній ямі й описується власною функцією, що має вигляд _n(x)= sin . [ ].

34. Е лектрон з енергією 19,6 еВ у своєму русі зустрічає потенціальний бар’єр висотою 10 еВ (рис. 5.1). Врахувавши значення хвильового числа на ділянках І і ІІ, визначити коефіцієнт заломлення хвиль де Бройля на межі бар’єра.[0,7].

35. Протон з кінетичною енергією 25 еВ проходить через межу потенціального бар’єра з області І в область ІІ так, як показано на рис. 5.4. Визначити коефіцієнт заломлення хвиль де Бройля для протонів на межі цього потенціального бар’єра, якщо його висота U=11 еВ. [n=1,2].

36. При проходженні потенціального бар’єра протоном з кінетичною енергією 0,5 МеВ його дебройлівська довжина хвилі змінилася на 2 %. Яку висоту має потенціальний бар’єр? [U= 19,5 кеВ].

37. Частинка проходить потенціальний бар’єр з коефіцієнтом відбивання =0,64. Визначити коефіцієнт заломлення n хвиль де Бройля на межі потенціального бар’єра. [0,11; 9,0].

38. Протони проходять через низький потенціальний бар’єр з коефіцієнтом пропускання =0,66. Чому дорівнює коефіцієнт заломлення n хвиль де Бройля для протонів на межі цього бар’єра? [0,26; 3,79].

39. Електрон з енергією Е=81 еВ проходить через потенціальний бар’єр висотою U=32 еВ. Обчислити коефіцієнт пропускання хвиль де Бройля для цього потенціального бар’єра. [0,98].

40. Електрон з енергією Е=10 еВ рухається у додатньому напрямі вісі х і зустрічає потенціальний бар’єр висотою U=12 еВ (рис. 5.2). Яку ширину має цей потенціальний бар’єр, якщо його коефіцієнт прозорості дорівнює D=0,15. Покажіть на рисунку приблизний вигляд хвильової функції (її дійсну частину) в межах кожної з областей І, ІІ, ІІІ. [а) d= 0,13 нм].

41. Оцінити ймовірність того, що електрон з енергією Е=8 еВ пройде прямокутний потенціальний бар’єр, який має висоту U=12 еВ і ширину d=0,2 нм. [1,6%].

42. Електрон проходить прямокутний потенціальний бар’єр при різниці висоти потенціального бар’єру і його енергії (U─E) = 1 еВ. Яку ширину має потенціальний бар’єр, якщо його коефіцієнт прозорості дорівнює D=0,1. [0,22 нм].

43. Ядро полонію випромінює -частинки з енергією Е=8,95 МеВ. У грубому наближенні можна вважати, що -частинки проходять через прямокутний потенціальний бар’єр висотою U=10 МеВ і шириною d=5 фм. Знайти коефіцієнт прозорості бар’єра для -частинок. [0,011].

44. Електрон проходить через прямокутний потенціальний бар’єр шириною 0,1 нм, маючи енергію на 2 еВ меншу за висоту потенціального бар’єра. У скільки разів зміниться ймовірність проходження електрона через бар’єр, якщо різниця енергій (U─E) зростає у 5 разів? [Зменшиться у 6 разів].

45. Визначте коефіцієнт відбивання і коефіцієнт проходження електронів на межі потенціального бар’єру, якщо його висота в чотири рази менша за кінетичну енергію електронів. [ ; ].

46. Для рухомого протона коефіцієнт відбивання від деякого потенціального бар’єру становить 3,6 . Визначте, яку частку складає висота цього потенціального бар’єру U від кінетичної енергії Т падаючих на бар’єр протонів? [ = 2,4%].

47. З якою ймовірністю W електрон відіб’ється від потенціального бар’єру висотою 95 еВ, якщо до проходження бар’єру він мав енергію 144 еВ? [0,069].

48. В одномірній потенціальній ямі шириною l міститься електрон, який перебуває в основному стані. Яка ймовірність W знаходження цього електрона в інтервалі 1/3, рівновіддаленому від стінок потенціальної ями? [0,609].

49. Визначте довжину хвилі де Бройля в електрона після проходження ним потенціального бар’єру висотою 180 еВ, якщо до проходження цього бар’єру його довжина хвилі дорівнювала = 80 пм. [0,609].

50. Частинка міститься в потенціальній ямі шириною l і знаходиться в другому збудженому стані. Яка ймовірність знаходження частинки: 1) в першій четвертині потенціальної ями; 2) в інтервалі ¼, рівновіддаленому від стінок потенціальної ями? [ = 0,303; = 0,325].

51. Порівняйте, де більша ймовірність знаходження електрона в інтервалі 1/3, рівновіддаленому від стінок потенціальної ями шириною l, коли він знаходиться в першому збудженому стані, чи в другому збудженому стані. Оцініть, у скільки разів ця ймовірність більша. [У другому збудженому стані ймовірність більша у 1,71 рази].