5.6.4. Електрони в металі. Розподіл Фермі−Дірака

22. Метал знаходиться при температурі 0 К. Чому дорівнює концентрація n вільних електронів у цьому металі, якщо відомо, що енергія Фермі для нього дорівнює 2 еВ? [1,29∙10²⁸ м⁻³].

23. Метал знаходиться при температурі 0 К. Яку максимальну швидкість мають електрони в цьому металі, якщо для нього рівень Фермі дорівнює 7 еВ? [1,57 Мм/с].

24. Визначити число вільних елекронів, які припадають на один атом літію при температурі 0 К, коли відомо, що енергія Фермі для нього дорівнює 4,72 еВ. [1,0].

25. Визначити швидкість електронів на рівні Фермі для натрію при 0 К, якщо відомо, що концентрація вільних електронів у нього дорівнює 3·10²⁸ м⁻³. [1,1 Мм/с.].

26. Для алюмінію й міді енергії Фермі відповідно дорівнюють 11,7 та 7,0 еВ. У якому з металів число вільних електронів, що припадають на один атом, більше і в скільки разів? [В алюмінію в 3 рази більше, ніж у міді].

27. Метал, який має енергію Фермі 7 еВ, знаходиться при температурі 0 К. Визначити в цьому металі об’ємом 10 см³ число вільних електронів, імпульси яких відрізняються від максимального імпульсу не більше, ніж на 15%. [3,28∙10²³ електронів].

28. Визначити ймовірність того, що електрон у металі займе енергетичний стан, який перебуває в інтервалі ΔЕ=0,04 еВ нижче та вище рівня Фермі для двох температур: 1) Т₁= 232 К; 2) Т₂= =46,4 К. [1) 0,881 і 0,119; 2) 0,999955 і 4,5∙10⁻⁵].

29. Метал натрій, для якого рівень Фермі дорівнює 3,12 еВ, знаходиться при температурі 0 К. Обчислити середню кінетичну енергію електронів у натрію при даній температурі. [1,87 еВ].

30. Знаючи розподіл dn(E) електронів у металі за енергіями, встановити розподіл dn(р) електронів за імпульсами. Знайти частинний випадок розподілу при Т= 0 К. [1)  , при Т≠ 0 К; 2)  , при Т= 0 К].

31. У скільки разів і як саме в металі при 0 К число елекронів з кінетичною енергією від 0,5Е_f до Е_f відрізняється від числа електронів з енергією від 0 до 0,5Е_f? [В інтервалі з енергією від 0,5Е_f до Е_f число електронів у 1,83 рази більше, ніж в інтервалі з енергією від 0 до 0,5Е_f].

32. Яку частину в металі при 0 К становлять вільні електрони з кінетичною енергією, що відрізняється від енергії Фермі не більше, ніж на 3%, порівняно із загальною кількістю вільних електронів? [ ].

33. Прийнявши, що на кожен атом літію припадає по одному вільному електрону, оцініть температуру виродження для літію. [3,3·10⁴ К].

34. Густина калію 860 кг/м³. Прийнявши, що на кожен атом калію припадає по одному вільному електрону, оцініть температуру виродження для цього металу. [1,42∙10⁴ К].

35. У металі при Т= 0 К максимальна швидкість, якої досягають вільні електрони, дорівнює 13,2 м/с. Визначте середню енергію, яка припадає на один електрон у даному металі. [3,0 еВ].

36. При Т= 0 К, у міді відношення густини до молярної маси ( ) у 1,83 рази більше, ніж у кадмію. Визначте рівень Фермі при Т= 0 К у кадмію, коли відомо, що для міді він дорівнює = 7,0 еВ. Прийміть до уваги, що число вільних електронів, які припадають на один атом при даній температурі, у кадмію вдвоє більше, ніж у міді. [7,42 еВ].

37. У деякому металі при Т= 0 К відношення числа вільних електронів, кінетична енергія яких перебуває у деякому інтервалі нижче рівня Фермі, до загальної кількості вільних електронів, дорівнює 0,2. Визначте у долях енергії Фермі цей енергетичний інтервал, в якому перебувають вищезгадані електрони. [ ].

38. Яку максимальну швидкість мають вільні електрони у деякому металі при Т= 0 К, коли їх концентрація дорівнює м^–3. [ м/с].

39. Метал знаходиться при температурі 0 К. В яких двох енергетичних інтервалах, що в сумі складають інтервал енергій вільних електронів від 0 до , число електронів з кінетичними енергіями, які відповідають цим інтервалам, буде однаковим? Відповідь виразіть у долях . [ ; ].

40. Концентрація вільних електронів у металі при Т= 0 К дорівнює м^–3. Визначте енергію Фермі для електронів у цьому металі при даній температурі. [ 3,2 еВ].

41. Підраховано, що у деякому металі при Т= 0 К середня енергія, яка припадає на один електрон, дорівнює 3 еВ. Визначте повну енергію електронного газу у цьому металі при даній температурі. [ = 24,2 Дж.]

42. В якому енергетичному інтервалі нижче та вище рівня Фермі може перебувати вільний електрон у металі при Т= 348 К, якщо його ймовірність перебування у цьому інтервалі відповідно дорівнює 0,88 та 0,119? [ = 0,06 еВ].

43. У кристалі цинку при Т= 0 К на кожний атом припадає по два вільних електрони. Враховуючи, що густина цинку дорівнює 7140 кг/м³, визначте енергію Фермі для цинку при даній температурі. [ = 9,4 еВ].

44. При Т= 0 К енергія Фермі в алюмінію =11,7 eB. Визначте число вільних електронів, які припадають на один атом алюмінію. [ =3].

45. Для деякого металу при Т= 0 К повна енергія електронного газу дорівнює Дж. Визначте концентрацію вільних електронів у цьому металі. [ м^–3].

46. Оцініть температуру виродження електронного газу в алюмінії, прийнявши, що в ньому на кожний атом припадає по 3 вільних електрони. [ К].

47. В зразку цинка масою 141 г при Т= 0 К середня енергія, яка припадає на один вільний електрон, дорівнює 5,64 еВ. Визначте число вільних електронів, імпульси яких відрізняються від максимального імпульсу не більше, ніж на 12%. [8,46 електронів].

48. Для деякого металу встановлено, що при Т= 0 К середня енергія, яка припадає на один вільний електрон, дорівнює 5,64 еВ. Визначте температуру виродження електронного газу для цього металу, коли відомо, що концентрація вільних електронів у ньому при температурі виродження у 1,02 рази менша, ніж при Т= 0 К. [6,53 К].

49. Відомо,що при Т= 0 К у алюмінію число вільних електронів, що припадає на один атом, більше ніж у калію втричі. Відповідно густина у алюмінію також більша, але в 3,13 рази. Визначте рівень Фермі у калію коли відомо, що для алюмінію він дорівнює = 11,7еВ. [2,05 еВ].

50. У зразку олова масою 100 г при Т= 0 К число вільних електронів, імпульси яких відрізняються від максимального імпульсу не більше, ніж на 10%, дорівнює N= 3,2 електронів. Визначте середню енергію, яка припадає на один вільний електрон у цьому металі за даних умов. [6,06 еВ].