5.4. Хвильові властивості речовини Довідковий матеріал

• Довжина хвилі де Бройля:

λ =h/p=h/(mυ);

• у класичному наближенні (υ<<c): p=m_oυ, тому

λ = h/(m_оυ),

де m_o − маса спокою частинки;

• у релятивіському випадку (υ≈c): , тому

.

• Зв’язок довжини хвилі де Бройля з кінетичною енергією частинки:

• у класичному наближенні : ;

• у релятивіському випадку: , де Е_о − енергія спокою частинки (Е_о=m_oc²).

• Принцип невизначеності Гейзенберга:

; ,

де ∆р_х − невизначеність проекції імпульсу частинки на вісь х, ∆х − невизначеність її координати, ∆Е − невизначеність енергії даного квантового стану, ∆t − час перебування системи в цьому стані, =h/2π.

• Часове рівняння Шредінгера:

,

де m − маса частинки, i − уявна одиниця, − повна хвильова функція, U − потенціальна енергія, .

• Рівняння Шредігнера для стаціонарних станів:

,

де Е − повна енергія частинки, U − потенціальна енергія частинки.

• Імовірність dW знаходження частинки в інтервалі від x до x+dx:

dW= .

• Власне значення енергії Е_п частинки, яка перебуває на п-му енергетичному рівні в глибокій одномірній потенціальній ямі:

,

де m − маса частинки, l − ширина потенціалної ями, п = 1,2,3,…

• К оефіцієнт заломлення хвиль де Бройля на межі низького потенціального бар’єру нескінченої ширини:

n= ,

де λ₁, λ₂ − довжини хвиль де Бройля в областях І та ІІ (частинка рухається із області І у область ІІ), , − відповідні значення хвильових чисел.

• Коефіцієнт відбивання ρ та коефіцієнт пропускання τ хвиль де Бройля через низький (U<E) потенціальний бар’єр нескінченої ширини:

.

• К оефіцієнт прозорості D прямокутного потенціального бар’єра кінцевої ширини висотою U для частинки енергією Е:

,

де х₁, х₂ − координати точок, між якими U>E.

• У разі прямокутного потенціального бар’єра кінцевої ширини d (рис. 5.2.) коефіцієнт прозорості дорівнює:

.

Задачі

5.4.1. Хвилі де Бройля

22. Між електродами рентгенівської трубки прикладена напруга 40 кВ. Знайти довжину хвилі де Бройля для електронів, які бомбардують антикатод трубки. [617 нм].

23. Яку прискорювальну різницю потенціалів повинен пройти електрон, щоб довжина хвилі де Бройля дорівнювала 50 пм? [603 В].

24. Яка довжина хвилі де Бройля відповідає електронам, що бомбардують антикатод рентгенівської трубки, якщо межа суцільного рентгенівського спектра припадає на довжину хвилі =6 нм? [85 пм].

25. Знайти довжину хвилі де Бройля для -частинки, що пройшла прискорювальну напругу 1 кВ. [3,22 пм].

26. Визначити довжини хвиль для хвильових процесів, які відповідають: 1) руху молекул водню при температурі 77 ⁰С; 2) руху молекул кисню при температурі 77 ⁰С. При розрахунках використати середню швидкість молекул. [1) 103 пм; 2) 25,9 пм].

27. Розганяючись під дією прискорювальної напруги, електрон набуває кінетичної енергії 0,1 кеВ. Визначити довжину хвилі де Бройля для цього електрона. [123 пм].

28. Враховуючи релятивіський ефект визначте, при якому значенні кінетичної енергії електрона його дебройлівська довжина хвилі дорівнює комптонівській довжині хвилі. [0,187 МеВ].

29. Знайти довжину хвилі де Бройля для протона, що пройшов прискорювальну різницю потенціалів 20 кВ. Врахувати релятивістський ефект. [0,2 пм].

30. Чому дорівнює довжина хвилі де Бройля для електрона, який перебуває на 1-й орбіті атома водню? [334 пм].

31. Визначити довжину хвилі для хвильового процесу електрона, який пройшов прискорювальну різницю потенціалів 250 кВ. Врахувати релятивістський ефект. [2,01 пм].

32. Максимальна частота випромінювання суцільного рентгенівського спектра в трубці, антикатод якої бомбардується електронами, дорівнює 1,5¹⁸ с^-1. Знайти довжину хвилі де Бройля для електрона, вважаючи його релятивістським. [15,5 пм].

33. Влітаючи перпендикулярно до силових ліній в однорідне магнітне поле з індукцією 4 мТл, електрон рухається колом радіусом 1 см. Визначити дебройлівську довжину хвилі електрона. [103 пм].

34. В електронному мікроскопі потрібно розглянути об’єкт, деталі якого мають розміри близько 1,5 нм. Яким повинен бути вхідний апертурний кут мікроскопа, коли відомо, що електрони в ньому прискорюються різницею потенціалів 80 кВ? [θ=12^/].

35. Пучок електронів, що мають швидкість 1,6 Мм/с, спрямовують на вузьку щілину шириною 1 мкм. На екрані, що розташований паралельно щілині на відстані 15 см від неї, одержують дифракційну картину. Якою буде відстань між двома дифракційними максимумами першого порядку на екрані? [0,2 мм].

36. На грань кристала, в якого відстань між відповідними атомними площинами, паралельними грані, дорівнює 0,3 нм, падає паралельний пучок електронів з однаковими швидкостями. Дзеркальне відображення пучка електронів відбувається при куті падіння 30⁰. Користуючись рівнянням Вульфа-Брегга, знайти швидкість електронів, якщо вони зазнають інтерференційного відбивання 4-го порядку. [5,6 Мм/с].

37. На вузьку щілину шириною 2 мкм падає нормально потік моноенергетичних електронів. На екрані, що розташований паралельно щілині на відстані 40 см, спостерігається дифракційна картина з центральним максимумом шириною = 0,291 мм. Яка швидкість у електронів потоку? [ м/с].

38. Враховуючи релятивістський ефект, визначте дебройлівську довжину хвилі електронів, які бомбардують антикатод рентгенівської трубки. Відомо, що короткохвильова границя суцільного рентгенівського спектра дорівнює = 6 пм. [ 3,88 пм].

39. В ході експерименту енергію електрона змінили таким чином, що його дебройлівська довжина хвилі змінилася від 150 пм до 100 пм, В яку сторону і на скільки змінили енергію електрона? [Збільшили на 208 еВ].

40. Яка довжина хвилі відповідає хвильовому процесу для атомів водню, які рухаються при температурі 37ºС з найбільш імовірною швидкістю? [175 пм].

41. Прийнявши, що середня кінетична енергія так званих теплових нейтронів в атомному реакторі дорівнює 0,04 еВ, визначте довжину хвилі де Бройля для таких нейтронів. [182 пм].

42. Визначте довжину хвилі де Бройля для - частинки, яка рухається по колу радіусом 12 мм в однорідному магнітному полі з напруженістю 1,5 А/м. [9,2 пм].

43. Елементарна частинка, заряд якої за величиною дорівнює заряду електрона, прискорюється різницею потенціалів 20 кВ, Визначте масу частинки, якщо відомо, що довжина хвилі де Бройля, яка відповідає рухомій частинці, дорівнює 0,2 пм. [1,67 кг].

44. У прискорюючому полі електрон набуває кінетичної енергії величиною: 1) 1 кеВ; 2) 100 кеВ. Визначте довжину хвилі де Бройля для рухомого електрона в обох випадках. [1)38,8 пм; 2)3,88 пм].

45. Визначте довжину хвилі де Бройля для: 1) електрона,що рухається із швидкістю 5 м/с; 2) атома гелію, що рухається із середньою квадратичною швидкістю при температурі 27ºС; 3) металевої кулі масою 8 г, що летить із швидкістю 300 м/с. [1)146 пм;2) 73 пм; м].

46. Яка довжина хвилі де Бройля відповідає протонам, які пройшли прискорювальну напругу: 1) 10 В; 2) 1000 В? [1) 9,1 пм; 2) 0,91 пм].

47. Прийнявши, що довжина хвилі де Бройля для рухомого протона дорівнює граничній довжині хвилі рентгенівських променів, які виникають у трубці під напругою 35 кВ, визначте кінетичну енергію протона. [0,69 еВ].

48. Якою кінетичною енергією володіють такі частинки як електрон, молекула азоту і порошинка радіусом 0,2 мкм та густиною 2600 кг/м³, якщо кожній з цих частинок відповідає довжина хвилі де Бройля 80 пм? [1) 236 еВ; 2) еВ; 3) еВ].

49. У прискорюючому полі електронно-променевої трубки електрони набувають кінетичної енергії 31 кеВ. Визначити довжину хвилі де Бройля для електронів без врахування, і з врахуванням релятивістського ефекту. [1) 6,8 пм; 2) 6,58 пм].