Анализ взаимосвязи между динамическими рядами (корреляция приростов, отклонений от тренда)
Для этого нам понадобятся данные двух показателей выручки и чистой прибыли. Выручка – факторный признак, а чистая прибыль – результативный признак.
Чтобы провести данный анализ необходимо пройти 3 этапа статистического анализа корреляционной связи:
I ЭТАП. Предварительный анализ (выявление наличия связи);
II ЭТАП. Корреляционный анализ (установление силы и направления связи);
III ЭТАП. Регрессионный анализ (определение математической модели связи).
Виды корреляционной связи:
I По силе бывает
- прямая – увеличение факторного признака приводит к росту результативного;
- обратная – увеличение факторного признака приводит к уменьшению результативного.
II По направлению бывает
- слабая (до 10% вариации). Когда факторный признак объясняет до 10 % вариации результативного;
- умеренная (от 10-25% вариации);
- средняя (от 25 – 50% вариации);
- сильная (более 50% вариации).
III По числу факторных признаков бывает
- парная. Когда влияет только 1 фактор на результативность;
- множественная. Когда несколько факторов влияют на результативность, и оцениваем совместное влияние всех.
IV По характеру аналитической зависимости бывает
- линейная. Когда наилучшим образом для описания связи подходит линейная математическая модель;
- не линейная. Когда характер связи будет явно нелинейным.
I. Выявление наличия связи графическим способом.
Таблица 31
Время |
Выручка(x) |
Прибыль(y) |
1 кв.2005 |
174 |
45,1 |
2 кв.2005 |
168,2 |
42,7 |
3 кв.2005 |
166,6 |
41,4 |
4кв.2005 |
170 |
36,6 |
1кв.2006 |
178,3 |
43,7 |
2кв. 2006 |
180,7 |
44,9 |
3кв.2006 |
178,1 |
42,4 |
4кв.2006 |
174,1 |
35,6 |
1кв. 2007 |
205 |
50,1 |
2кв2007 |
208,2 |
54,8 |
3кв.2007 |
203,5 |
49,4 |
4кв.2007 |
197,5 |
43,8 |
1кв.2008 |
225 |
38,8 |
2кв.2008 |
221,3 |
35,7 |
3кв.2008 |
218,1 |
32,9 |
4кв2008 |
219 |
34,3 |
1кв.2009 |
226,5 |
50,9 |
2кв.2009 |
215,9 |
41,3 |
3кв.2009 |
218,4 |
43,7 |
4кв.2009 |
218,7 |
36,5 |
1кв.2010 |
230 |
40,3 |
2кв.2010 |
232,8 |
40,7 |
3кв.2010 |
235,2 |
42,2 |
4кв.2010 |
258 |
39 |
Рис.9
Вывод: Можно говорить об отсутствии линейной связи между признаками. Так как между точками на графике мы не можем визуально провести прямую линию.
II. Установление силы и направления связи.
1) Метод приведения параллельных данных. Тенденцию результативного признака можно легко установить, рассчитав разности соседних в списке значений результативного признака. Если все (или почти все) разности одного знака, то делается вывод о наличии связи. Можно рассчитать количественный показатель (коэффициент параллельности), который будет служить индикатором наличия связи:
Кп = (2*((n²+ + n²-) /(n-1)²) – 1)^1/2, где
Кп – коэффициент параллельности;
n²+ — количество единиц совокупности у которого разница с предыдущим значением положительна;
n²- — количество единиц совокупности у которого разница с предыдущим значением отрицательна.
Кп = (2*((10² + 13²)/23²) – 1)^1/2 = ((2*269/529)-1)^1/2 = (538/529-1)^1/2 = (9/529)^1/2 = 3/23 = 0,1
Кп принимает значения [-1;1]. Чем ближе значения к 1, тем с большей долей вероятности говорит о наличии связи между признаками.
Вывод: Значение Кп = 0,1, оно ближе к «0». Это свидетельствует о малой вероятности наличия связи между признаками.
2) Метод расчёта коэффициента Фехнера (коэффициента корреляции знаков). Этот метод основан на анализе поведения отклонений индивидуальных значений признака от среднего по факторному и результативному признакам.
Кф = (∑а - ∑в)/(∑а + ∑в)
Нам необходимо найти для начала xср. и yср.:
Xср. =(174 + 168,2 + 166,6 + 170 + 178,3 + 180,7 + 178,1 + 174,1 +205+ 208,2 + + 203,5 +197,5 + 225 + 221,3 + 218,1 + 219 + 226,5 + 215,9 + 218,4 +218,7 + +230 + 232,8 + 235,2 + 258) /24 = 4923,1/24 = 205,1
Yср. = (45,1 + 42,7 +41,4 + 36,6 + 43,7 +44,9 + 42,4 + 35,6 +50,1 + 54,8 + 49,4 + + 43,8 + 38,8 +35,7 +32,9 +34,3 + 50,9 +41,3 + 43,7 + 36,5 +40,3 +40,7 +42,2 + +39) /24 = 1006,8/24 = 42
Таблица 32
Время |
Выручка (x) |
Прибыль(y) |
Разница соседних значений |
XiXср. |
yi-yср. |
Совпадение знаков |
1 кв.2005 |
174 |
45,1 |
|
-31,1 |
3,1 |
- |
2 кв.2005 |
168,2 |
42,7 |
- |
-36,9 |
0,7 |
+ |
3 кв.2005 |
166,6 |
41,4 |
- |
-38,5 |
-0,6 |
+ |
4кв.2005 |
170 |
36,6 |
- |
-35,1 |
-5,4 |
+ |
1кв.2006 |
178,3 |
43,7 |
+ |
-26,8 |
1,7 |
- |
2кв. 2006 |
180,7 |
44,9 |
+ |
-24,4 |
2,9 |
- |
3кв.2006 |
178,1 |
42,4 |
- |
-27 |
0,4 |
- |
4кв.2006 |
174,1 |
35,6 |
- |
-31 |
-6,4 |
+ |
1кв. 2007 |
205 |
50,1 |
+ |
-0,1 |
8,1 |
- |
2кв2007 |
208,2 |
54,8 |
+ |
3,1 |
12,8 |
+ |
3кв.2007 |
203,5 |
49,4 |
- |
-1,6 |
7,4 |
- |
4кв.2007 |
197,5 |
43,8 |
- |
-7,6 |
1,8 |
+ |
1кв.2008 |
225 |
38,8 |
- |
19,9 |
-3,2 |
- |
2кв.2008 |
221,3 |
35,7 |
- |
16,2 |
-6,3 |
- |
3кв.2008 |
218,1 |
32,9 |
- |
13 |
-9,1 |
- |
4кв2008 |
219 |
34,3 |
+ |
13,9 |
-7,7 |
- |
1кв.2009 |
226,5 |
50,9 |
+ |
21,4 |
8,9 |
+ |
2кв.2009 |
215,9 |
41,3 |
- |
10,8 |
-0,7 |
- |
3кв.2009 |
218,4 |
43,7 |
+ |
13,3 |
1,7 |
+ |
4кв.2009 |
218,7 |
36,5 |
- |
13,6 |
-5,5 |
- |
1кв.2010 |
230 |
40,3 |
+ |
24,9 |
-1,7 |
- |
2кв.2010 |
232,8 |
40,7 |
+ |
27,7 |
-1,3 |
- |
3кв.2010 |
235,2 |
42,2 |
+ |
30,1 |
0,2 |
+ |
4кв.2010 |
258 |
39 |
- |
52,9 |
-3 |
- |
Кф = (9-15)/(9+15) = -6/24 = -1/4 = -0,25
Кф принимает значения [-1;1].
Вывод: Связь между признаками обратная по направлению и слабая по силе. Так как Кф<0 и Кф<0,3.
3) Метод расчёта линейного коэффициента корреляции
Таблица 33
XiXср. |
yi-yср. |
Совпадение знаков |
(XiXср.)*(yi-yср.) |
(XiXср.)² |
(yi-yср.)² |
-31,1 |
3,1 |
- |
-96,41 |
967,21 |
9,61 |
-36,9 |
0,7 |
+ |
-25,83 |
1361,61 |
0,49 |
-38,5 |
-0,6 |
+ |
23,1 |
1482,25 |
0,36 |
-35,1 |
-5,4 |
+ |
189,54 |
1232,01 |
29,16 |
-26,8 |
1,7 |
- |
-45,56 |
718,24 |
2,89 |
-24,4 |
2,9 |
- |
-70,76 |
595,36 |
8,41 |
-27 |
0,4 |
- |
-10,8 |
729 |
0,16 |
-31 |
-6,4 |
+ |
198,4 |
961 |
40,96 |
-0,1 |
8,1 |
- |
-0,81 |
0,01 |
65,61 |
3,1 |
12,8 |
+ |
39,68 |
9,61 |
163,84 |
-1,6 |
7,4 |
- |
-11,84 |
2,56 |
54,76 |
-7,6 |
1,8 |
+ |
-13,68 |
57,76 |
3,24 |
19,9 |
-3,2 |
- |
-63,68 |
396,01 |
10,24 |
16,2 |
-6,3 |
- |
-102,06 |
262,44 |
39,69 |
13 |
-9,1 |
- |
-118,3 |
169 |
82,81 |
13,9 |
-7,7 |
- |
-107,03 |
193,21 |
59,29 |
21,4 |
8,9 |
+ |
190,46 |
457,96 |
79,21 |
10,8 |
-0,7 |
- |
-7,56 |
116,64 |
0,49 |
13,3 |
1,7 |
+ |
22,61 |
176,89 |
2,89 |
13,6 |
-5,5 |
- |
-74,8 |
184,96 |
30,25 |
24,9 |
-1,7 |
- |
-42,33 |
620,01 |
2,89 |
27,7 |
-1,3 |
- |
-36,01 |
767,29 |
1,69 |
30,1 |
0,2 |
+ |
6,02 |
906,01 |
0,04 |
52,9 |
-3 |
- |
-158,7 |
2798,41 |
9 |
|
|
|
-316,35 |
15165,45 |
697,98 |
Rxy = (∑(XiXср.)*(yi-yср.))/( (∑(XiXср.)² *∑(yi-yср.)²)^1/2 ) =
=-316,35/( (697,98*15165,45)^1/2 ) = -316,35/( (10585180)^1/2 ) = -316,35 / /3253,4873 = -0,1
Вывод: Таким образом, связь между признаками по направлению обратная и слабая по силе.
4) Метод расчёта коэффициента Спирмена
Для начала отсортируем выручку по возрастанию и соответствующие ей значения прибыли.
Коэффициент Спирмена находится по формуле:
ρ = 1-( (6*∑di²)/(n(n²-1)) ), где di = Rx-Ry
Rx – ранг (порядковый номер единицы в упорядоченной совокупности по x);
Ry – ранг (…по y).
Таблица 34
Выручка(x) |
Прибыль(y) |
Rxi |
Ryi |
di |
di² |
166,6 |
41,4 |
1 |
12 |
-11 |
121 |
168,2 |
42,7 |
2 |
15 |
-13 |
169 |
170 |
36,6 |
3 |
6 |
-3 |
9 |
174 |
45,1 |
4 |
20 |
-16 |
256 |
174,1 |
35,6 |
5 |
3 |
2 |
4 |
178,1 |
42,4 |
6 |
14 |
-8 |
64 |
178,3 |
43,7 |
7 |
16 |
-9 |
81 |
180,7 |
44,9 |
8 |
19 |
-11 |
121 |
197,5 |
43,8 |
9 |
18 |
-9 |
81 |
203,5 |
49,4 |
10 |
21 |
-11 |
121 |
205 |
50,1 |
11 |
22 |
-11 |
121 |
208,2 |
54,8 |
12 |
24 |
-12 |
144 |
215,9 |
41,3 |
13 |
11 |
2 |
4 |
218,1 |
32,9 |
14 |
1 |
13 |
169 |
218,4 |
43,7 |
15 |
17 |
-2 |
4 |
218,7 |
36,5 |
16 |
5 |
11 |
121 |
219 |
34,3 |
17 |
2 |
15 |
225 |
221,3 |
35,7 |
18 |
4 |
14 |
196 |
225 |
38,8 |
19 |
7 |
12 |
144 |
226,5 |
50,9 |
20 |
23 |
-3 |
9 |
230 |
40,3 |
21 |
9 |
12 |
144 |
232,8 |
40,7 |
22 |
10 |
12 |
144 |
235,2 |
42,2 |
23 |
13 |
10 |
100 |
258 |
39 |
24 |
8 |
16 |
256 |
|
|
|
|
|
2808 |
ρ = 1-( (6*2808)/(24*(24²-1) ) = 1 – (16848/13800)=
= 13800/13800 – 168848/13800 = -3048/13800 = -0,22
Вывод: Таким образом, связь между признаками слабая по силе и обратная по направлению.
5) Метод расчёта коэффициента Кэнделла
Коэффициент находится по формуле:
r= 2*S/( n*(n-1) ), где S = ∑Pi -∑Qi
Pi – число единиц совокупности у которых большему чем у данной единицы по x соответствует больший, чем у данной единицы ранг по y;
Qi - число единиц совокупности у которых меньшему чем у данной единицы по x соответствует больший, чем у данной единицы ранг по y.
Таблица 35
Ryi |
di |
di² |
Pi |
Qi |
12 |
-11 |
121 |
12 |
11 |
15 |
-13 |
169 |
9 |
13 |
6 |
-3 |
9 |
16 |
5 |
20 |
-16 |
256 |
4 |
16 |
3 |
2 |
4 |
17 |
2 |
14 |
-8 |
64 |
8 |
10 |
16 |
-9 |
81 |
7 |
10 |
19 |
-11 |
121 |
4 |
12 |
18 |
-9 |
81 |
4 |
11 |
21 |
-11 |
121 |
3 |
11 |
22 |
-11 |
121 |
2 |
11 |
24 |
-12 |
144 |
0 |
12 |
11 |
2 |
4 |
3 |
8 |
1 |
13 |
169 |
10 |
0 |
17 |
-2 |
4 |
1 |
8 |
5 |
11 |
121 |
6 |
2 |
2 |
15 |
225 |
7 |
0 |
4 |
14 |
196 |
6 |
0 |
7 |
12 |
144 |
5 |
0 |
23 |
-3 |
9 |
0 |
4 |
9 |
12 |
144 |
2 |
0 |
10 |
12 |
144 |
1 |
0 |
13 |
10 |
100 |
0 |
1 |
8 |
16 |
256 |
0 |
0 |
|
|
2808 |
127 |
147 |
S = 127-147=-20
r= (2*(-20))/(24*23) = -40/552 = -0,07
Вывод: Связь по направлению обратная и по силе слабая.
Заключение