![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
§ 1. Основные понятия.
Система «m» линейных уравнений с «n» неизвестными:
(
)
Здесь m
-число уравнений; n
- число неизвестных,
- коэффициенты системы;
- свободные члены;
- неизвестные, i = 1,…,
n; j=
1,…, m.
Решение
системы (
)
- это набор чисел (
…,
),
который при подстановке в систему дает
m верных
равенств:
Пример.
(1; -2) - решение системы
,
т.к.
- система верных равенств.
Система ( ) - совместная, если она имеет хотя бы одно решение; иначе - система несовместная.
Пример.
- совместная система;
- несовместная система (если выполнено
равенство:
,
то не может выполняться равенство:
,
т.к.
-2(
)
= -28 = -16 ≠ 3).
Совместная система - определенная, если она имеет единственное решение; иначе она -неопределенная.
Пример.
- определенная система;
- неопределенная система (решения
системы: (4; 3), (10; 7), …).
Две линейные системы называются равносильными (), если они имеют одинаковое число неизвестных и множества решений этих систем совпадают.
Пример.
1) Системы
и
- не равносильны, т.к. у них разное
число
неизвестных.
2) Системы
и
- не равносильны,
т.к. (2; 1) является решением первой системы и не является решением второй системы.
3) Системы
и
- равносильны, т.к. обе системы имеют
одно и
то же множество решений: {(2; 1)}.
§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Рассматривается система «n» линейных уравнений с «n» неизвестными (m = n):
(
)
Введем
обозначения: Δ =
- основной определитель системы (
);
Δ1
=
, Δ2
=
,… , Δn
=
-
вспомогательные определители системы ( ).
Теорема Крамера. Если Δ ≠ 0, то система ( ) имеет единственное решение:
- формулы Крамера.
Пример.
.
Δ =
= 17, Δ1
=
= 17, Δ2
=
= -34.
=
= 1,
=
= -2.
Ответ: (1; -2).
Пример.
. Δ =
=
= -1
= -29,
Δ1
=
=
= -1
= -29,
Δ2
=
=
= -1
= - 87,
Δ3
=
=
= -1
= -145.
=
= 1,
=
= 3,
=
= 5.
Ответ: (1; 3; 5).
§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
Введем обозначения: A = - основная матрица системы ( ),
B =
- матрица-столбец свободных членов, X
=
- матрица-столбец неизвестных.
Система ( ) равносильна матричному уравнению:
(
)
Если Δ = det A ≠ 0, то решение матричного уравнения ( ) дается формулой:
,
где
- обратная матрица к матрице
.
Пример.
.
A =
,
B =
,
X =
,
=
,
=
=
=
=
.
Ответ: (1; -2).
Пример.
. A =
,
B =
,
X =
,
Δ = -29.
A11
=
= - 15 A12
= -
= 1 A13
=
= 5
A21
= -
= 1 A22
=
= -2 A23
= -
= - 10
A31
=
= 3 A32
= -
= - 6 A33
=
= - 1
A-1
=
=
.
=
=
=
=
Ответ: (1; 3; 5).