§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
К линейным действиям с векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.
1. Сложение векторов.
Суммой векторов и называется вектор, полученный из этих векторов по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Правило треугольника:
Начало вектора совпадает с концом вектора .
+
Тогда суммой + называется вектор, начало которогосовпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора .
Правило параллелограмма:
+
Начала векторов и совпадают. Тогда
суммой + называется вектор, идущий из их
общего начала по диагонали параллелограмма,
построенного на этих векторах.
Свойства нулевого и противоположного векторов: + = , + (- ) = .
Понятие суммы 2-х векторов можно обобщить на случай суммы n векторов:
…
…
+ + … +
2. Вычитание векторов.
Разностью векторов и называется вектор, равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору :
= + (- ).
-
-
3. Умножение вектора на число.
Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , который определяется следующими условиями:
= λ
При
> 1 вектор
длиннее вектора
;
при
< 1 вектор
короче вектора
.
= λ , λ > 0 (λ < 1) = λ , λ < 0 (λ < -1)
Простейшие свойства умножения вектора на число:
0 =
1 =
(-1) = - (противоположный вектор)
λ =
=
- орт вектора
,
≠
Теорема. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов)
Для того
чтобы два вектора
и
были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство:
+
=
при некоторых числовых значениях
и
,
одновременно не обращающихся в ноль:
+
=
(
+
≠ 0)
Следствие. Для того чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: = λ при некотором действительном значении λ:
= λ
(Число λ
можно найти из равенства: λ =
,
где знак «+» выбирается в случае, если
и знак «-», если
).
Теорема. (Необходимое и достаточное условие компланарности векторов)
Для того
чтобы три вектора
,
и
были компланарны, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство:
+
+
=
при некоторых числовых значениях
,
и
,
одновременно не обращающихся в ноль:
,
,
- компланарны
+
+
=
(
+
+
≠ 0)
Следствие. Для того чтобы два неколлинеарных вектора и и вектор были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: = + при некоторых числовых значениях , :
, , - компланарны = +
ми
( , , - произвольные векторы; λ, α, β - действительные числа):
1. + = + (коммутативность сложения векторов)
2. ( + ) + = + ( + ) (ассоциативность сложения векторов)
3. α(β ) = (αβ) (однородность относительно умножения на число)
4. (α + β) = α + β (дистрибутивность относительно сложения чисел)
5. λ( + ) = λ + λ (дистрибутивность относительно сложения векторов)