- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
1. Пусть даны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:
, .
Тогда:
- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
- при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ ; λ ;
+ ;
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
2. Пусть даны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:
, .
Тогда:
- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
- при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ ; λ ;
+ ;
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
Пусть даны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:
, .
Тогда:
- скалярное произведение;
- векторное произведение.
Пусть даны координаты векторов , и относительно О.Н.Б. { }:
, , . Тогда:
- смешанное произведение.
Если векторы , и лежат на плоскости, то , , и
- скалярное произведение,
- векторное произведение,
- смешанное произведение.
Пример.
, , .
= -7;
= + = 2 + 4 + ;
= 1 0 2 = 4 0 2 = 2.
Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
Пусть даны координаты векторов , и относительно О.Н.Б. { }:
, , .
Тогда:
= 0
=
, , - компланарны = 0
Пример.
Определить, при каких значениях λ векторы и будут ортогональны, если
= 2 - , = 3 + 2 , а векторы и заданы своими координатами относительно
О.Н.Б. { }: , .
= 0 (2 - )(3 + 2 ) = 0 6 - 3 + 4 - 2 = 0
4 + 4 - 3 = 0;
= 11 + + 00 = 1 + 2; = + 11 + (-1)(-1) = 2 + 2; = + + 0 = 2 ;
4(1 + 2) + 8 - 3( 2 + 2) = 0 2 + 8 - 2 = 0 1,2 = - 4 3 .
Пример.
Определить, при каких значениях λ векторы , и будут компланарны, если
они заданы своими координатами относительно О.Н.Б. { }:
, , .
, , - компланарны = 0 3 = 0
2 - - 2 = 0 1 = - 1, 2 = 2.