§ 4. Разложение вектора по базису.
Запись вида: = 𝛌1 + 𝛌2 + …+ 𝛌n , где 𝛌1, 𝛌2, … , 𝛌n - некоторые действительные
числа, называется разложением вектора по векторам , , …, .
Теорема (разложение по базису).
1). Пусть - базис пространства V1. Тогда любой вектор V1 можно единственным
образом разложить по базису: = λ .
2). Пусть , - базис пространства V2. Тогда любой вектор V2 можно
единственным образом разложить по базису: = λ1 + λ2 .
3). Пусть , , - базис пространства V3. Тогда любой вектор V3 можно
единственным образом разложить по базису: = λ1 + λ2 + λ3 .
Коэффициенты при базисных векторах называются координатами вектора относительно
данного базиса.
= λ
- координата вектора
относительно базиса {
};
= λ1
+
λ2
- координаты вектора
относительно базиса {
,
};
= λ1
+ λ2
+ λ3
- координаты вектора
относительно базиса {
,
,
}.
Пример.
V1:
= (-3)
;
V2:
= 2
+
5
;
V3:
=
- 2
.
Теорема. (линейные действия с векторами в координатах).
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ
;
,
+
,
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
= 0
rang
= 1
=
=
= 0
Пример.
,
rang
= 2 ≠ 1
;
,
rang
= 1
Пример.
Доказать,
что
- базис на плоскости и разложить вектор
по этому базису:
,
,
.
Построить заданные
векторы в ортонормированном базисе.
= -5 ≠ 0
- базис на плоскости.
= λ1
+
λ2
= λ1
+
λ2
=
+
=
=
-
-
Условие компланарности векторов в координатной форме.
Векторы
,
и
компланарны тогда и только тогда,
когда определитель матрицы, строки которой - координаты этих векторов, равен нулю:
,
,
- компланарны
=
0
Пример.
Доказать,
что
- базис в пространстве и разложить вектор
по
этому базису:
,
,
,
.
=
=
= -5 ≠ 0
- базис в пространстве.
= λ1 + λ2 + λ3 = λ1 + λ2 + λ3
= {0; λ1; 3λ1} + {- λ2; 0; 2λ2} + {λ3; 3λ3; 2λ3} = {- λ2 + λ3; λ1+3λ3; 3λ1 +2λ2+2λ3}
=
2
3
1
Задачи по теме 1.
. Дан параллелограмм ABCD. Точки K, L, M, N - середины сторон параллелограмма,
=
,
=
.
Найти координаты вектора
в базисе
.
B
C
L
*
K
M
*
*
A
D
N
*
1.
=
2.
=
3.
=
4.
=
5.
=
6.
=
7.
=
8.
=
9.
=
10.
=
11.
=
12.
=
. Дан параллелепипед ABCD A1B1C1D1. Точка K - центр грани ABA1B1,
точка L - центр грани ABCD, точка M - центр грани AA1DD1, точка N - центр грани A1B1C1D1,
точка P
- центр грани BB1CC1,
точка Q - центр грани
CDC1D1,
=
,
=
,
=
.
Найти
координаты вектора
в базисе
.
A1
C1
D1
B1
C
A
B
DD
1.
=
2.
=
3.
=
4.
=
5.
=
6.
=
7.
=
8.
=
9.
=
10.
=
11.
=
12.
=
13.
=
14.
=
15.
=
16.
=
. Доказать, что - базис на плоскости и разложить вектор по этому базису. Построить заданные векторы в ортонормированном базисе.
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
6.
,
,
Доказать, что - базис в пространстве и разложить вектор по этому базису.
7.
,
,
,
8.
,
,
,
9.
,
,
,
10.
,
,
,
11.
,
,
,
12.
,
,
,
Дополнительные задачи.
1. В правильном
5-угольнике ABCDE
=
,
=
.
C
Разложить вектор по базису .B
D
A
E
2. В правильном 5-угольнике ABCDE = , = .
C
Разложить векторы
и
по базису
.
B
D
A
E
3. Точка О -
центр тяжести
ABC. Найти
+
+
.
B
O
A
C
4. Дана пирамида
ABCD,
=
,
=
,
=
.
Точка О - центр тяжести
ABC.
Разложить вектор
по базису
.
D
B
A
C
O
2. Умножение векторов.