![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
A = - квадратная матрица.
Матрица A-1 - называется обратной матрицей к матрице A, если выполняются равенства:
(E - единичная
матрица)
Теорема. Если A - невырожденная матрица, то существует единственная обратная матрица к матрице A, которая вычисляется по формуле:
( - алгебраическое дополнение элемента , Δ = det A).
Матрица
называется присоединенной матрицей.
(Если A - вырожденная матрица, то обратная матрица не существует.)
Для матрицы 2-го порядка обратная матрица вычисляется особенно просто:
Пример.
A =
A-1
=
=
Проверка:
=
=
= E
=
=
= E
Ответ: A-1 =
Пример.
A = , Δ = = 1 − 0 −2 = − 4 − 2(8 + 15) = - 50
A11 = = - 4 A12 = - = - 8 A13 = = - 10
A21 = - = 3 A22 = = 6 A23 = - = - 5
A31 = = 23 A32 = - = - 4 A33 = = - 5
A-1
=
=
.
Проверка:
=
=
=
=
= E
=
=
=
= E
Ответ:
A-1
=
=
1.
(A-1)-1
= A
2.
(AT)-1
=
(A-1)T
3.
(λ A)-1
=
A-1
(λ
≠ 0)
4. (A B)-1 = B-1A-1 5. det (A-1) = (det A)-1
§ 5. Ранг матрицы.
A = - прямоугольная матрица размером m n.
Пусть в матрице A выбраны произвольно k строк и k столбцов, где 1 k min {m,n}.
Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу
порядка k. Определитель данной матрицы называется минором порядка k.
Наибольший порядок r отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A: r = rang A.
Ранг матрицы может принимать только целые неотрицательные значения.
Ранг нулевой матрицы считается равным нулю: rang = 0.
Для любой ненулевой матрицы A выполнено условие: 1 rang A min {m,n}.
Равенство: rang A = r - означает, во-первых, что все миноры порядка выше r равны нулю или не существуют и, во-вторых, что существует минор порядка r, отличный от нуля. Любой отличный от нуля минор порядка r, называется базисным минором.
Пример.
A
=
.
Максимальный
порядок миноров для этой матрицы равен
2. Можно составить всего три
минора 2-го порядка:
= 0,
= 0,
= 0.
Так как все миноры 2-го порядка равны нулю, то rang A < 2.
Следовательно: rang A = 1.
Пример.
A
=
.
Максимальный порядок миноров для этой
матрицы равен 3. Можно составить
единственный минор
3-го порядка:
= 0 (имеются пропорциональные столбцы).
Следовательно: rang A
< 3.
Среди миноров 2-го
порядка имеются базисные, т.е.
ненулевые, например:
≠ 0.
Поэтому rang A = 2.
Ступенчатая матрица.
Матрица вида: A
m,
n
=
,
где
≠ 0,
≠ 0,
… ,
≠ 0
- называется ступенчатой матрицей.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк: rang A = k.
Действительно, во-первых, существует базисный (ненулевой) минор k-го порядка:
=
…
≠ 0;
во-вторых, все миноры порядка выше k
- либо не существуют, либо равны нулю
(так как содержат нулевую строку).
Пример.
A =
rang
A = 3.
Элементарные преобразования матрицы:
- перестановка строк местами;
- умножение какой-нибудь строки на любое число, не равное нулю;
- сложение строк;
- перестановка столбцов местами.
Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.
Используя утверждение данной теоремы, можно вычислять ранг любой матрицы, приводя ее к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований.
Пример.
A
=
[из 4-й строки вычтем
2-ю строку; из 3-й строки вычтем 1-ю строку]
[из 2-й строки вычтем 3-ю строку]
[из 3-й строки вычтем
1-ю строку, умноженную на 2]
[к 3-й строке прибавим
4-ю строку; 4-ю строку разделим на 2]
[из 4-й строки вычтем
2-ю строку]
[переставим столбцы
2 и 3,
затем столбцы 3 и 4]
.
Получили ступенчатую матрицу с 3-мя
ненулевыми строками. Следовательно: rang A = 3.
Задачи по теме 2.
. Выполнить действия над матрицами.
1.
(3A - 2B)C
= ? A =
,
B =
,
C =
2.
B(A
+ 3C) = ? A =
,
B=
,
C =
3.
A(2E
+ 3B) = ? A =
,
B =
4.
(2A - 3E)B
= ? A =
,
B =
5.
AB
- BA
= ? A =
,
B =
6.
f(A) = ? f(x) = 3x2
- 2x + 3, A =
7.
f(A) = ? f(x) = -2x2
+ 3x - 5, A =
8.
f(A) = ? f(x) = -2x2
- 3x + 2, A =
9.
f(A) = ? f(x) = 3x2
+ 2x - 4, A =
10.
f(A) = ? f(x) = 2x2
- 4x + 3, A =
. Найти обратную матрицу A-1 и сделать проверку.
1.
A =
2.
A =
3.
A =
4.
A =
5.
A =
6.
A =
7.
A =
8.
A =
. Найти ранг матрицы.
1.
A =
2.
A =
3.
A =
4.
A =
5.
A =
6.
A =
7.
A =
8.
A =
9.
A =
10.
A =
Дополнительные задачи.
Вычислить:
1.
2.
3.
Найти обратные матрицы для матрицы A n-го порядка:
4. A
=
5. A =
6. A
=
7. Составить многочлен: P (x) = det (A - xE) - и найти его корни, если
A
=
- заданная треугольная матрица, E
- единичная матрица порядка n.
8. Составить многочлен: P (λ) = det(A - λE) - и найти его корни, если
A
=
,
E - единичная
матрица 3-го порядка.
9. Найти x
из условия: A2
=
,
где A =
,
- нулевая матрица 2-го порядка.
10. Найти все решения матричного уравнения: X 2 = , где X - матрица 2-го порядка.
11. Найти x
из условия: A2
= E, где A
=
,
E - единичная матрица 2-го порядка.
12. Найти все решения матричного уравнения: X 2 = E, где X - матрица 2-го порядка.
3. С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й