1. Конструкция поля комплексных чисел.

Мы фактически уже построили поле комплексных чисел в предыдущем параграфе. В силу исключительной важности поля комплексных чисел приведем его непосредственную конструкцию. Рассмотрим пространство строк длины два над полем ℝ с операциями покомпонентного сложения и умножения на действительные числа. Определим умножение двух строк и так:

ТЕОРЕМА. Пространство строк длины два с определенным выше умножением есть поле комплексных чисел (обозначим его ℂ ). В нем единичным элементом будет строка (1,0), а множество (1,0)ℝ ={(x,0)} образует подполе поля ℂ, изоморфное полю действительных чисел (тем самым отображение x→ (x,0) (x∈ ℝ ) есть вложение ℝ в ℂ ). Строка (называемая далее комплексной единицей) будет корнем уравнения .

Доказательство. Сопоставим паре матрицу . Это отображение обозначим Φ и убедимся, что отображение Φ есть изоморфизм алгебраической системы ℂ на поле C. Это означает, что Φ – биективное отображение и

для любых комплексных чисел . Это значит, нам нет нужды проверять аксиомы поля для ℂ -- они автоматически выполнены в силу изоморфизма Φ.

Отображение x→ (x,0) есть гомоморфное вложение поля действительных чисел в ℂ и более того, имеет место равенство

для любых x,x',y'∈ ℝ . Теперь мы имеем возможность отождествить x и (x,0). Далее, равенство

показывает, что есть корень уравнения . Формула для обратного комплексного числа

В силу изоморфизма Φ и вычислений обратной матрицы к матрице получаем

Любой элемент поля комплексных чисел единственным образом записывается в виде z=x+iy, где x,y -- действительные числа. Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re z, а y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im z. Комплексное число z полностью определяется своей действительной и мнимой частью, т.е.

К омплексные числа вида называем чисто мнимыми. Комплексные числа изображаются точками на плоскости или векторами с начальной точкой в начале координат (см. рис. 1). Горизонтальная ось называется действительной осью, а вертикальная ось Oy называется мнимой осью и обозначается как ибо по ней откладываются чисто мнимые числа и.т.д.. При этом сложение двух комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов по правилу параллелограмма. Геометрическая интерпретация умножения будет указана позже.

2. Сопряжение комплексных чисел

Поле комплексных чисел доставляет нам новое свойство -- наличие нетождественного непрерывного автоморфизма (изоморфизма на себя).

Комплексное число называется сопряженным к , а отображение называется сопряжением. С геометрической точки зрения операция сопряжение есть не что иное, как отражение относительно действительной оси. Для реализации поля комплексных чисел в виде кольца 2×2-матриц С, сопряжение есть не что иное как транспонирование матрицы.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда z – действительное число. Кроме этого, сопряжение обладает свойством гомоморфности по отношению к сложению и умножению:

Эти свойства проверяются непосредственно. Как и всякая симметрия, сопряжение обладает свойством инволютивности: для любого .

Отметим также свойство , которое приводит к следующему правилу деления комплексных чисел: для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое надо числитель и знаменатель дроби умножить на величину сопряженную знаменателю.