Немного комбинаторики
Биномиальные коэффициенты
Так называются
комбинаторно определяемые числа
-- число способов выбора k
предметов из
предметов. Здесь
.
Ясно, что
и
.
Ясно также, что
ибо выбор
предметов означает автоматический
«невыбор» оставшихся
предметов. Перейдем к выводу основного
рекуррентного соотношения между
биномиальными коэффициентами. Пусть у
нас имеется
предметов, составляющих множество А,
среди которых фиксируем один предмет
.
Все выборы k предметов из A, т.е. все
подмножества B⊆
A содержащие k предметов разбиваются на
два класса -- те, что содержат
и те, что не содержат
.
В первом классе
подмножеств
(остается выбрать k-1 предмет из A\ {a}, а
во втором классе
подмножеств (все k предметов выбираем
из множества A\{a}). Получаем:
Вместе с
граничными условиями
это дает способ вычисления всех чисел
.
Соотношения (3) также представляют из
себя рекуррентные формулы, только более
сложные, чем те посредством которых
определялось сложение и умножение
натуральных чисел. Получаем так называемый
треугольник Паскаля
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .....
В этом треугольнике n-ая строка сверху содержит числа при k=0,1,2,… , n. Любое число, кроме самых крайних слева и справа равно сумме чисел стоящих над ним (4=1+3, 6=3+3, и.т.д.) Имеется и прямая, не рекуррентная формула для чисел
Доказательство.
Обозначим пока
.
Имеем:
Иными словами,
краевые условия совпадают. Докажем, что
числа
удовлетворяют рекуррентному соотношению
(4).
Теперь очень
легко индукцией по n доказать, что имеет
место равенство
для всех допустимых k. Действительно,
база индукции, n=1 проверяется прямым
подсчетом. Предполагая далее верным
равенство
при всех 0≤ k≤ n докажем равенство
для всех 0≤ k≤ n+1. Во-первых, это так для
k=0 и для k=n+1 в силу совпадения граничных
условий. Для остальных k
воспользуемся рекуррентным
соотношением:
□
ТЕОРЕМА 2 (бином Ньютона). Для любого натурального n имеет место равенство
Доказательство. Раскрывая скобки в произведении (a+b)(a+b)… (a+b) ( n раз) мы видим, что количество слагаемых, у которых степень по b равна k, а степень по a равна n-k совпадает с числом выборов k предметов из n предметов, т.е. с . □
Возможен и другой способ доказательства бинома Ньютона -- индукцией по степени n. Тогда следует применить рекуррентные формулы (4). В связи формулой бинома Ньютона числа называют (биномиальными коэффициентами.)
Числа Фибоначчи
Так называют числа, рекуррентное определение которых задается равенствами
Первые двенадцать чисел Фибоначчи таковы
Образуем производящую функцию
Тогда
Отсюда
и
В этой функции
как в одном мешке скрыта вся
последовательность чисел Фибоначчи. В
частности,
.
Однако мы пойдем другим путем. Представим
в виде
.
Тогда числа
обратны корням квадратного уравнения
и тем самым есть корни уравнения
.
Его корни суть
Тогда, применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:
Как итог, получаем явную формулу
Системой счисления Фибоначчи называется представление натурального числа в виде суммы чисел Фибоначчи
(здесь и далее
)
ТЕОРЕМА 3. Представление вида (9) существует и единственно.
Доказательство.
Используем «жадный» алгоритм представления.
Выбираем
максимальное такое, что
.
Если здесь равенство, то разложение (9)
построено. Иначе выбираем
максимальное такое, что
и т. д. Заметим, что
так как в противном случае
и
– противоречие с максимальностью
.
Понятно, что этот процесс оборвется на
конечном шаге.
Единственность. Из рекуррентного задания чисел Фибоначчи следует, что
.
Отсюда просто
следует единственность числа
,
а затем применяем индукцию к
.
□