Алгебра многочленов
Пусть -- поле. Рассмотрим бесконечномерное пространство финитных строк над этим полем:
(все
и называются коэффициентами). Финитность
означает, что лишь конечное число
коэффициентов не равно 0. Стандарным
базисом в рассматриваемом пространстве
служат строки
,
у которых на j-ом месте
единица, а остальные коэффициенты –
нули. Определим умножение базисных
элементов в соответствии с правилом
и распространим
это умножение на все пространство
финитных строк по линейности. А именно,
для двух строк
и
их произведением (по-другому сверткой)
будет строка
такая, что
ТЕОРЕМА.
А. Пространство финитных строк
относительно умножения (3) образует
коммутативное кольцо с единицей
,
в которое гомоморфно вкладывается поле
посредством отображения
.
Б. Строка
,
которую мы обозначим
,
порождает кольцо финитных строк:
По этой
причине кольцо финитных строк далее
называем кольцом многочленов от одной
переменной над полем
и обозначаем
.
В. Для
многочлена
определена степень
(Если множество
пусто, а это может быть только для
нулевого многочлена, то в соответствии
с правилами логики, полагаем
.
Однако с т.з. компьютерных наук это
неудобно; будем считать при программировании
степенью нулевого многочлена любое
отрицательное целое число, например,
-1.). Степени обладают свойствами
1)
2)
Если
,
где
,
то коэффициент
называется старшим
есть общий вид линейного многочлена, а
есть общий вид квадратного трехчлена
(
).
Если
,
то многочлен называется константным.
С. Многочлен обратим тогда и только тогда, когда он имеет нулевую степень.
Пусть
-- поле, содержащее
как подполе. Значением многочлена
на элементе
называется элемент
.
Если это значение – ноль, то
называется корнем многочлена
.
Таким образом, многочлен можно
рассматривать как отображение
,
сопоставляющее всякому элементу
элемент значение
.
Для полей с бесконечным числом элементов
из равенства
вытекает равенство многочленов
.
Для конечных полей это неверно (пример
над полем из двух элементов имеет только
нулевые значения, но сам многочлен
ненулевой). Тем не менее, допуская
вольность, мы далее будем записывать
как
и мыслить
как переменную, вместо которой можно
подставлять любое значение из
и, в частности, из
.
Отметим
формулу сложения двух многочленов.
Пусть многочлены
,
имеют степени n и m соответственно. Тогда
В кольце
многочленов существует теория делимости
такая же, как и в кольце целых чисел.
Причина состоит в том, что кольцо
многочленов евклидово. А именно, для
любых многочленов
,
второй из которых не равен 0, найдутся
многочлены
и
такие, что
ПРИМЕР.
Разделим
на
c остатком «уголком»:
Итак,
-- неполное частное, а
-- остаток. Имеет место равенство
ТЕОРЕМА Безу. Число
есть корень многочлена
тогда и только тогда, когда
делит
нацело, без остатка.
Доказательство. Поделим на с остатком:
Так как
,
то
-- константный многочлен. Тогда
.
Следовательно, число
– корень многочлена
в том и только том случае, когда
,
а это имеет место ровно тогда, когда
делит
.□
Пусть
-- корень многочлена
.
Тогда
по теореме Безу. Если
-- корень многочлена
,
то мы можем и от него отщепить
.
Будем это делать до тех пор пока
и
В этом случае
называют
кратностью корня
.
Итак, кратностью корня
многочлена
называется наибольшее натуральное
число
такое, что
делит
Если
не является корнем многочлена
,
то удобно считать, что кратность
есть 0.
СЛЕДСТВИЕ. Многочлен степени n имеет не более n различных корней.
Роль простых
чисел играют неприводимые многочлены.
Неконстантный многочлен называется
неприводимым над полем
,
если его нельзя разложить в произведение
многочленов с меньшими степенями.
Оговорка «над полем
»
существенна. Многочлен
неприводим над полем действительных
чисел, но перестает быть таковым над
полем комплексных чисел. Однако, если
мы сужаем поле (например, до поля
рациональных чисел в примере выше), то
неприводимость сохраняется.
ТЕОРЕМА. Любой неконстантный многочлен разложим в произведение неприводимых многочленов. Такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и умножения их на ненулевые элементы поля.
ПРИМЕР.
Разложим
над полями ℂ , ℝ
, ℚ и над полем
из двух элементов
ℂ :
ℝ :
ℚ : -- неразложим.
:
