1. Дизъюнктивная совершенная нормальная форма.

Булевы переменные будем обозначать . Строку булевых переменных обозначаем . Для обозначим

Мы видим, что это просто другое обозначение операции эквивалентности. Если -- булевы строки длины n как и выше, то обозначим

Для подмножества обозначим через ее характеристическую функцию , принимающую значение 1 на строках из B и принимающую значение 0 на строках из дополнения .

ЛЕММА. тогда и только тогда, когда .

ТЕОРЕМА 2.

1. Имеет место равенство

2. Для любой булевой функции обозначим через множество . Тогда и представление функции F в виде (3) называется дизъюнктивной нормальной совершенной формой функции .

Заметим, что ДСНФ не всегда экономна. Например, обозначая операцию отрицания штрихом, будем иметь:

Первое равенство объясняется так . Второе можно проверить непосредственно, подставляя

2. Конъюнктивная нормальная совершенная форма

Для булевой функции обозначим .

ТЕОРЕМА 3.

1. Имеет место равенство

2. Две различные формы вида (4) задают различные булевы функции

Доказательство. А. Проверим, что F равна 0 тогда и только тогда, когда правая часть в (4) равна 0. Пусть и тем самым . Тогда для выполняется равенство , ибо каждая компонента равна 0. Следовательно, значение конъюнкции в (4) равно 0.

Наоборот, пусть значение правой части в (4) при равно 0. Это значит, что для некоторого сомножитель равен 0. Это может быть только если для любого j. Тогда и по определению множества .

В. Пусть две формы и задают одинаковую булеву функцию. Первая форма принимает значение 0 только для строк таких, что , а вторая для тех , что . Отсюда . Так как отображение – биекция на множестве строк, то .

По другому можно рассуждать так: форм вида (4) столько же сколько подмножеств в , т.е. . Это число совпадает с множество различных булевых функций с n переменными. В силу утверждения А, если две формы вида (4) дают одинаковые функции, то получается, что число разных булевых функций будет строго меньше . Это противоречит теореме 1 □

Разложение (4) называют конъюктивной нормальной совершенной формой.

3. Многочлены Жегалкина

ПРЕДЛОЖЕНИЕ.

1. Эквивалентность равна булевой функции .

2. Импликация эквивалентна .

3. Дизъюнкция есть то же самое, что и

4. Отрицание по другому выражается как .

Доказательство вытекает из таблиц истинности этих функций.

ТЕОРЕМА 4.

1. Любая булева функция переменных может быть записана в виде

где

2. Количество слагаемых в суммах (5) есть (включая первое и последнее слагаемые)

3. Набор коэффициентов (их штук) однозначно определяется функцией F

Доказательство. Учитываем, что для булевой переменной

16. Алгебра кватернионов.

Кватернионы были изобретены немецким математиком Гамильтоном в 1843 году. Это был первый пример конечномерной некоммутативной алгебры над полем действительных чисел, в которой каждый ненулевой элемент обратим (т. е. алгебры с делением или тела). Как потом оказалось, это был и последний пример такой алгебры, ибо конечномерная алгебра с делением над ℝ есть либо само поле ℝ, либо поле комплексных чисел ℂ, либо тело кватернионов ℍ согласно теореме Фробениуса (см.[В], глава 11, §6, теорема 4). Произвольный элемент q∈ ℍ однозначно записывается в виде

где . Если , то такой кватернион называется чистым. Во-первых, превратим ℍ в четырехмерное линейное пространство на полем ℝ, складывая кватернионы и умножая их на числа покомпонентно. Таблица умножения базисных элементов такова

Из этих равенств получаем следствия:

Так как умножение базисных элементов ассоциативно, то и ℍ -- ассоциативная алгебра.

Чистые кватернионы образуют подпространство , которое будем отождествлять с трехмерным линейным евклидовым пространством со стандартным базисом i,j,k. Для вычисления результата умножения двух кватернионов используем скалярное и векторное произведения. Операцию скалярного произведения между векторами a,b придется обозначать, например, как a*b, оставив a⋅ b для обозначения произведения кватернионов. Итак, если даны два кватерниона q=a+a и t=b+b , где a,b -- чистые кватернионы, а a,b -- числа, то можно убедиться, что

Записывая q и t более подробно и вспоминая записи скалярного и векторного произведений через координаты, получим:

Кватернион a-a назовем сопряженным к кватерниону q=a+a и будем его обозначать . Нетрудно проверить, что

и поэтому тогда и только тогда, когда q=0 . Величина называется нормой кватерниона q и обозначается , а арифметический корень из нормы называется модулем кватерниона q и обозначается . Имеет место следующее утверждение:

ТЕОРЕМА. Множество кватернионов относительно определенных выше операций сложения и умножения образует алгебру с делением над полем действительных чисел. Каждый ненулевой кватернион q имеет обратный .

Уже отмечалось, что алгебра кватернионов ассоциативна. Она не коммутативна, так как, например, ij≠ ji . Проверим теперь, что кватернион обратен к ненулевому кватерниону q.

Отображение ℂ → ℍ ( ) будет вложением поля комплексных чисел в алгебру кватернионов. С таким же успехом подходят для вложения отображения и . Однако ℍ не является алгеброй над полем комплексных чисел, ибо "мнимые единицы" i,j,k не лежат в центре ℍ.

Пусть -- ненулевой кватернион. Отображение сопряжения

есть автоморфизм алгебры кватернионов. Это означает, что -- биекция (у него есть обратное отображение ) и для любых кватернионов . Проверим, что

Достаточно установить, что

Далее, , следовательно, это (очевидно линейное) преобразование пространства ортогонально. Так как , то преобразование сопряжения есть поворот на угол относительно вектора . Как найти угол . Пусть -- перпендикулярен вектору . Тогда

Пусть – вектора единичной длины. Тогда на плоскости в базисе поворот, индуцированный сопряжением, задается матрицей

Отсюда следует, что

ПРИМЕР.1) и -- поворот на . Это же следует из (5) в котором полагаем .

2) и

-- поворот на угол . Это следует так же из (5), в котором полагаем