Рациональные числа
Уравнение
(*)
не всегда разрешимо в области целых
чисел. Для того, чтобы исправить это,
вводят дробные числа b/a как формальную
запись решения уравнения (*). Число b
называют числителем, а
знаменателем дроби
.
Заметим, что случай a=0 исключается, т.к.
уравнение (*) в этом случае не имеет
однозначного решения. Кроме того, из
интерпретации дроби b/a как решения
уравнения (*) вытекает правило равенства
дробей:
Определим операции сложения и умножения дробей
Относительно
этих операций множество рациональных
чисел
образует поле. Отношение линейного
порядка продолжается с целых чисел на
рациональные. Для ненулевой дроби q=b/a
определим знак sgn q как число 1, если
числитель и знаменатель имеют одинаковые
знаки, и полагаем
в противном случае. Формально, sgn b/a =sgn
b ⋅ sgn a . Здесь мы
пользуемся тем, что уравнение вида (*) в
группе знаков, т.е. в случае, когда a,b∈
{1,-1} всегда разрешимо. Итак, считаем
дробь q положительной, если sgn q=1 и считаем
ее отрицательной, если
.
Тогда полагаем, что
для двух дробей
если и только если разностьfpyjcnm
-- положительное число. Как и ранее
считаем, что
,
если либо
,
либо
.
ТЕОРЕМА 1 (иррациональность корня
из 2). Уравнение
не разрешимо в области рациональных
чисел.
Доказательство.
Предположим противное -- дробь q=b/a есть
решение этого уравнения, т.е.
.
Считаем дробь q несократимой. Так как
,
то по основной теореме
арифметики,
получаем
,
т.е. b=2b'. Тогда
,
т.е.
и снова
.
Следовательно, дробь b/a сократима на 2
-- противоречие. □
Дерево Штерна-Брокко
Как перечислить
все несократимые дроби от 0 до бесконечности,
т.е. дроби вида
,
где
и НОД(m,n)=1? Для этого рассмотрим бинарную
операцию
применимую к любым двум
дробям:
Обозначим
совокупность несократимых положительных
дробей вида, указанного выше вместе с
двумя дробями
и
(вторая из них несобственная, изображающая
бесконечность в несократимом виде)
через
.
Начиная именно с пары
;
будем применять операцию (1) называя
результат
потомком дробей
.
Получим следующее дерево Штерна-Броко
Заметим, что
если
,
то
.
Действительно,
так как
.
Аналогично проверяется, что
.
ЛЕММА.
Если
-- последовательные дроби на любом шаге
построения дерева Штерна-Броко, то
.
Доказательство. Предполагая верным равенство достаточно проверить,
что
и
.
Это так в виду сокращения слагаемых
и
в первом случае и
-- во втором. □
Вывод: операция
,
примененная к двум дробям из
снова дает дробь из
.
Может ли какая-либо несократимая дробь
быть пропущенной в дереве Штерна-Броко?
Заведомо
.
Пусть
-- последовательные дроби из
такие, что
и тем самым
Для медианы
возможны три случая. Во-первых, может
быть она совпадает
и мы тогда удовлетворены. Во-вторых, она
может быть меньше чем
и тогда дробь
можно заменить на медиану и в-третьих,
медиана может быть больше чем
и тогда уже дробь
заменяем на медиану. Этот процесс не
может продолжаться до бесконечности,
так как из неравенств (2) вытекает
C
каждым шагом либо n, либо m возрастает и
мы достигнем совпадения с дробью из
самое большее за
шагов применения операции Median.
ПРИМЕР.
В програме ShternBroko по
заданной константе N выписываются в
порядке возрастания все первые (точнее
– верхние)
дробей из
.
Идея состоит в том, что имея на-каком-то
этапе последовательность непосредственно
следующих дробей из дерево Штерна-Броко
мы «разрежаем» эту последовательность до новой
так, что
и далее,
.
Результат для K=6, т.е. для 64+1=65 дробей левой половины дерева следующий:
0/1; 1/7; 1/6; 2/11; 1/5; 3/14; 2/9; 3/13; 1/4; 4/15; 3/11; 5/18; 2/7; 5/17; 3/10; 4/13; 1/3; 5/14; 4/11; 7/19; 3/8; 8/21; 5/13; 7/18; 2/5; 7/17; 5/12; 8/19; 3/7; 7/16; 4/9; 5/11; 1/2; 6/11; 5/9; 9/16; 4/7; 11/19; 7/12; 10/17; 3/5; 11/18; 8/13; 13/21; 5/8; 12/19; 7/11; 9/14; 2/3; 9/13; 7/10; 12/17; 5/7; 13/18; 8/11; 11/15; 3/4; 10/13; 7/9; 11/14; 4/5; 9/11; 5/6; 6/7; 1/1 (максимум знаменателя =21)