4. Линейные преобразования плоскости

Известно, что любое преобразование плоскости ϕ, сохраняющее расстояния, есть либо параллельный перенос на вектор , либо поворот вокруг точки О на угол α, либо симметрия относительно прямой – , либо композиция двух из перечисленных преобразований. Если же наложить дополнительное условие неподвижности одной из точек (ее удобно взять в качестве начала координат – точки О), то ϕ может быть либо поворотом вокруг О, либо симметрией относительно прямой, проходящей через О. Как аналитически описать эти важнейшие геометрические преобразования? На помощь приходит матричная алгебра Mat(2× 2,ℝ ). Сопоставим точке P(x,y) на плоскости столбец координат . Тогда

задает поворот на угол α . Отражение относительно оси Ох задается матрицей diag(1,-1). Давайте ослабим требование сохранения расстояний и будем следить лишь за сохранением углов. Такое преобразование может быть устроено весьма сложно, но мы ограничимся случаем линейным преобразований и, кроме того, полагаем, что начало координат остается на месте. Запишем такое преобразование в общем виде

Из условия сохранения углов следует, что вектор перпендикулярен вектору , т.е. ac+bd=0. Тогда (c,d)=t(-b,a) для некоторого числа t. Треугольник с вершинами O(0,0);A(1,0);B(0,1) должен перейти в равнобедренный прямоугольный треугольник, значит длины векторов , должны быть равны. Отсюда получаем t=± 1. Случай t=1 дает матрицу , а случай t=-1 дает матрицу , описывающую симметрию относительно прямой (если a=-1, то относительно оси Оу). Что из себя представляет преобразование, заданное первой матрицей. Для этого обозначим и найдем угол α такой, что . Тогда первая матрица примет вид . Такая матрица отвечает за композицию двух преобразований: поворот на угол α и гомотетия с коэффициентом r.

Рассмотрим подробнее совокупность всех матриц вида в том числе и с нулевыми a и b. Эта совокупность (обозначим ее С) замкнута относительно сложения и умножения:

Кроме того, E∈ C. Следовательно, С – подкольцо кольца матриц. Но более того, умножение в кольце C коммутативно, что сразу видно из (10). Если a и b одновременно не равны 0, то и поэтому матрица обратима, а обратная матрица

снова принадлежит C.

СЛЕДСТВИЕ. Совокупность всех матриц вида (a,b∈ ℝ ) образует поле.

Это одно из важнейших «классических» полей -- поле комплексных чисел.

5. Комплексные числа

В этом параграфе изучается лишь одно поле -- поле комплексных чисел ℂ . С геометрической точки зрения оно представляет из себя плоскость, а с алгебраической точки зрения в этом поле любой неконстантный полином разложим в произведение линейных множителей. В этом смысле поле комплексных чисел проще устроено, чем поле действительных чисел и тем более, чем поле рациональных чисел. На базе этого поля строится теория функций комплексного переменного, которая богата своими приложениями к инженерным наукам. К полю комплексных чисел приводит казалось бы частная задача -- извлечение квадратного корня из -1. Если единицу трактовать как тождественное преобразование плоскости, то -1 будет поворотом плоскости на . Ясно, что в этой ситуации корень из -1 есть поворот на . Такой поворот описывается матрицей , квадрат которой равен –E (см. предыдущий параграф). В этих двух фразах изложена идея построения комплексной плоскости. Решив одно уравнение , мы получаем принципиальную возможность решить любое полиномиальное уравнение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полем комплексных чисел называется наименьшее расширение поля действительных чисел, содержащее корень уравнения .